Schrödingerova rovnica

Pre všeobecný kvantový systém platí:[2]

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$

kde

• ${\displaystyle \,\!\Psi }$ je vlnová funkcia
• ${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$ je operátor energie[3] (${\displaystyle i}$ je imaginárna jednotka a ${\displaystyle \hbar }$ je Planckova konštanta vydelená číslom 2${\displaystyle \pi }$),
• ${\displaystyle {\hat {H}}}$ je Hamiltonián.

Pre jednu časticu, na ktorú pôsobia sily (čiže potenciálna energia V je nenulová), má Schrödingerova rovnica tvar:[4]

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,\,t)}$

kde

• ${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$ je operátor kinetickej energie (m je hmotnosť častice),
• ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ je Laplaceov operátor. V troch rozmeroch má Laplaceov operátor tvar${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}}$, kde x, y a z sú osi v karteziánskej súradnicovej sústave,
• ${\displaystyle V\left(\mathbf {r} \right)}$ je časovo nemenná potenciálna energia v mieste udanom polohovým vektorom r,
• ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}$ je amplitúda pravdepodobnosti pre časticu, ktorá sa má nachádzať v čase t na mieste určenom polohovým vektorom r.

Časovo nezávislá Schrödingerova rovnica pre jednu časticu s potenciálnou energiou V má tvar:[5]

${\displaystyle {E}\psi (r)=-{\hbar ^{2} \over 2m}\nabla ^{2}\psi (r)+V(r)\psi (r).}$

Schrödingerova rovnica môže byť odvodená nasledovným spôsobom.^{[chýba zdroj]}

1. Celková energia častice E je

   ${\displaystyle E=T+V={\frac {p^{2}}{2m}}+V.}$

   Toto je klasický zápis pre časticu s hmotnosťou m, kde celková energia E je daná súčtom kinetickej energie T a potenciálnej energie V (táto sa môže meniť v závislosti od polohy a času). p je hybnosť častice a m jej hmotnosť.

2. Einsteinova hypotéza kvánt energie z roku 1905, podľa ktorej je energia E fotónu priamoúmerná veľkosti frekvencie ν (alebo uhlovej frekvencie ω = 2πν) korešpondujúcej elektromagnetickej vlny.

   ${\displaystyle E=h\nu =\hbar \omega \;,}$

3. de Broglieho hypotéza z roku 1924, podľa ktorej akejkoľvek častici môže byť priradená vlna a hybnosť častice p je vo vzťahu ku vlnovej dĺžke λ (alebo vlnového čisla k) takom, že platí:

   ${\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k\;,}$

4. Tieto tri predpoklady umožňujú odvodiť len rovnicu pre rovinnú vlnu. Tvrdiť, že takáto rovnica platí pre akúkoľvek vlnu vyžaduje princíp superpozície, a preto je nutné postulovať nezávislý predpoklad, že Schrödingerova rovnica je lineárna.

Hľadáme parciálnu diferenciálnu rovnicu, ktorej riešením je nasledovná rovnica pre rovinnú vlnu (i):

${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$

kde A je komplexná konštanta

Platí:

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$

Použijúc druhý a tretí predpoklad dostávame (ii):

${\displaystyle \hbar \omega ={\hbar ^{2}\ k^{2} \over 2m}}$

Teraz zderivujeme vlnovú funkciu (i) najskôr podľa času t a potom podľa osi x:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {x} ,t)=\hbar \omega \Psi (\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (\mathbf {x} ,t)={\hbar ^{2}\ k^{2} \over 2m}\Psi (\mathbf {x} ,t)}$

Keďže platí (ii), platí aj

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {x} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (\mathbf {x} ,t),}$

čo je Schrödingerova rovnica pre časticu pohybujúcu sa v smere osi x za neprítomnosti potenciálu V.

Schrödingerova rovnica pre časticu v trojrozmernom priestore za prítomnosti pôsobenia síl (teda potenciálu V) má tvar:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi }$