Relácia kongruencie (algebra)

Predpokladajme, že ${\displaystyle (X,O_{1},O_{2},\ldots ,O_{n})\,\!}$ je algebrická štruktúra s množinou prvkov ${\displaystyle X\,\!}$ a operáciami ${\displaystyle O_{1},O_{2},\ldots ,O_{n}\,\!}$, operácia ${\displaystyle O_{i}\,\!}$ je ${\displaystyle m_{i}\,\!}$ - árna. Predpokladajme ďalej, že ${\displaystyle R\,\!}$ je relácia ekvivalencie na množine ${\displaystyle X\,\!}$. ${\displaystyle R\,\!}$ je kongruencia na ${\displaystyle X\,\!}$, ak pre každú z vymenovaných operácií platí:
${\displaystyle a_{1}\sim _{R}b_{1},a_{2}\sim _{R}b_{2},\ldots ,a_{m_{i}}\sim _{R}b_{m_{i}}\implies O_{i}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m_{i}})\sim _{R}O_{i}(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m_{i}})\,\!}$

Táto oficiálna definícia hovorí v podstate to isté, čo úvodné priblíženie - ak sú operandy na rovnakom mieste po dvoch ekvivalentné, potom musia aj výsledky operácie byť ekvivalentné.

Kongruencia čísel je úzko spätá s ich deliteľnosťou a so zvyškovými triedami. Jednoducho povedané, dve čísla sú kongruentné, ak ich rozdiel je deliteľný modulom, teda po delení modulom dávajú rovnaký zvyšok. Spomínaná ekvivalencia je v tom, že obe čísla dávajú rovnaký zvyšok po delení modulom, t. j. patria do tej istej zvyškovej triedy.

Hovoríme, že dve čísla ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ sú kongruentné, ak ich rozdiel je deliteľný číslom ${\displaystyle m}$, ktoré nazývame modulo. Formálne

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$

Predchádzajúci zápis sa môže ekvivalentne prepísať na tvar

${\displaystyle a-b=k\cdot m}$
${\displaystyle a=k\cdot m+b}$

Relácia kongruencie je reláciou ekvivalencie a teda je reflexívna, symetrická a tranzitívna.
1. reflexívnosť

${\displaystyle a\equiv a{\pmod {m}}}$

Dôkaz spočíva v použití definície kongruencie. Teda má platiť ${\displaystyle m|(a-a)}$, čo je zrejme pravda, pretože ${\displaystyle m|0}$.${\displaystyle \blacksquare }$
2. symetria

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}\;\Rightarrow \;b\equiv a{\pmod {m}}}$

Aj táto vlastnosť je jednoducho dokázateľná priamo z definície. Čiže ${\displaystyle m|(a-b)\Rightarrow m|(b-a)}$, čo sa dá prepísať ${\displaystyle (a-b=k\cdot m)\Rightarrow (b-a=k\cdot m)}$, po úprave ${\displaystyle (a=k\cdot m+b)\Rightarrow (a=-k\cdot m+b)}$.${\displaystyle \blacksquare }$
3. tranzitívnosť

${\displaystyle (a\equiv b{\pmod {m}}\wedge b\equiv c{\pmod {m}})\Rightarrow (a\equiv c{\pmod {m}})}$

Dôkaz:
${\displaystyle {\begin{array}{l}a-b=k_{1}\cdot m\\b-c=k_{2}\cdot m\end{array}}}$
Súčtom oboch rovností vznikne nová rovnica
${\displaystyle {\begin{array}{rcl}a-c&=&k_{1}\cdot m+k_{2}\cdot m\\a-c&=&(k_{1}+k_{2})\cdot m\\a&\equiv &c{\pmod {m}}\blacksquare \end{array}}}$