Reciproká rovnica

• každá reciproká rovnica druhého druhu, nepárneho stupňa má koreň c = 1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x−1), dostaneme reciprokú rovnicu prvého druhu.
• každá reciproká rovnica prvého druhu, nepárneho stupňa má koreň c = −1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x+1), dostaneme reciprokú rovnicu prvého druhu, párneho stupňa.
• reciprokú rovnicu prvého druhu, párneho stupňa n je možné previesť na algebraickú rovnicu polovičného stupňa vydelíme výrazom ${\displaystyle x^{\dfrac {n}{2}}}$ a substitúciou:

${\displaystyle y=x+{\dfrac {1}{x}}}$

${\displaystyle y^{2}-2=x^{2}+{\dfrac {1}{x^{2}}}}$

${\displaystyle y^{3}-3y=x^{3}+{\dfrac {1}{x^{3}}}}$

${\displaystyle y^{4}-4y^{2}+2=x^{4}+{\dfrac {1}{x^{4}}}}$

Z vyššie uvedených skutočnosti možno ľahko odvodiť, že ak je číslo ${\displaystyle c}$ riešením reciprokej rovnice, potom aj číslo ${\displaystyle 1/c}$ je jej riešením. V prípade koreňa ${\displaystyle c=1}$ je to ${\displaystyle c={\frac {1}{1}}=1}$, čo je triviálny prípad.

${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle 2x^{3}+3x^{2}+3x+2=0}$

${\displaystyle a_{3}=2=a_{0}}$

${\displaystyle a_{2}=3=a_{1}}$

Je to reciproká rovnica prvého druhu tretieho stupňa.

${\displaystyle 2)}$ ${\displaystyle 3x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+3=0}$

${\displaystyle a_{4}=3=a_{0}}$

${\displaystyle a_{3}=-5=-a_{1}}$

${\displaystyle a_{2}=8=-a_{2}}$

Je to reciproká rovnica prvého druhu štvrtého stupňa.

${\displaystyle 3)}$ ${\displaystyle 12x^{4}-25x^{3}+25x-12=0}$

${\displaystyle a_{4}=12=-a_{0}}$

${\displaystyle a_{3}=-25=-a_{1}}$

Je to reciproká rovnica druhého druhu štvrtého stupňa.

${\displaystyle 4)}$ ${\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0}$

${\displaystyle a_{4}=1=a_{0}}$

${\displaystyle a_{3}=1=a_{1}}$

${\displaystyle a_{2}=1=a_{2}}$

Je to reciproká rovnica prvého druhu štvréto stupňa.

${\displaystyle 5)}$ ${\displaystyle 12x^{4}-25x^{3}+5x^{2}+25x-12=0}$

${\displaystyle a_{4}=12=-a_{0}}$

${\displaystyle a_{3}=-25=-a_{1}}$

${\displaystyle a_{2}=5\neq -a_{2}}$

a teda to nie je reciproká rovnica.[2]

Riešte rovnicu ${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle 4x^{4}+5x^{3}+2x^{2}+5x+4=0}$

Ide o reciprokú rovnicu prvého druhu párneho stupňa. Rovnicu vydelíme výrazom ${\displaystyle x^{2}}$

${\displaystyle 4x^{4}+5x^{3}+2x^{2}+5x+4=0\quad /\cdot {\frac {1}{x^{2}}}}$

${\displaystyle 4x^{2}+5x+2+5{\frac {1}{x}}+4{\frac {1}{x^{2}}}=0}$ | rovnicu si vhodne upravíme

${\displaystyle 4(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})+5(x+{\frac {1}{x}})+2=0}$ | zavedieme substitúcie ${\displaystyle y^{2}-2=x^{2}+{\dfrac {1}{x^{2}}}}$ a ${\displaystyle y=x+{\dfrac {1}{x}}}$

${\displaystyle 4(y^{2}-2)+5y+2=0}$

${\displaystyle 4y^{2}-8+5y+2=0}$

${\displaystyle 4y^{2}+5y-6=0}$

${\displaystyle D=b^{2}-4ac=5^{2}-4.4.(-6)=25+96=121}$ a teda ${\displaystyle y_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-5\pm {\sqrt {121}}}{8}}}$=

${\displaystyle y_{1}={\frac {-5-11}{8}}=-{\frac {16}{8}}=-2}$ , ${\displaystyle y_{2}={\frac {-5+11}{8}}={\frac {6}{8}}={\frac {3}{4}}}$

Spätným dosadením do ${\displaystyle y=x+{\dfrac {1}{x}}}$ dostávame

${\displaystyle -2=x+{\dfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle \quad /\cdot x}$

${\displaystyle -2x=x^{2}+1}$

${\displaystyle x^{2}+2x+1=0}$

${\displaystyle (x+1)^{2}=0}$

${\displaystyle x_{1}=-1}$ , ${\displaystyle x_{1}}$ je teda dvojnásobný koreň.

ďalšie dva korene dostaneme z:

${\displaystyle {\frac {3}{4}}=x+{\dfrac {1}{x}}}$

${\displaystyle {\frac {3}{4}}x=x^{2}+1}$

${\displaystyle x^{2}-{\frac {3}{4}}x+1=0}$

${\displaystyle D=(-{\frac {3}{4}})^{2}-4.1.1=-{\frac {55}{16}}}$ keďže diskriminant je záporný, rovnica ${\displaystyle x^{2}-{\frac {3}{4}}x+1}$ nemá reálne korene a riešením je teda ${\displaystyle P=\{-1\}}$

• Kvadratická rovnica

• Riešenie sústavy lineárnych rovníc Aplikácia, ktorá vypočíta riešenie dvoch a viacerých lineárnych rovníc.
• Riešenie reciprokych rovníc. www.vypocty.sk Postup riešenia.