Euklidova veta
Ako Euklidove vety sa označujú dve matematické vety týkajúce sa pravouhlého trojuholníka. Pomenované sú po svojom objaviteľovi, gréckom matematikovi Eukleidovi z Alexandrie.
![](../I/Euklidova_veta.svg.png.webp)
Euklidova veta o výške
Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z oboch úsekov na prepone.
Dôkaz pomocou Pytagorovej vety
c = ca + cb vc2 = a2 - ca2 vc2 = b2 - cb2
Rovnice sčítame:
2vc2 = a2 + b2 - ca2 - cb2
Upravíme prvé 2 členy podľa Pytagorovej vety:
2vc2 = c2 - ca2 - cb2
Rozpíšeme dĺžku prepony:
c2 = (ca + cb)2
Dosadíme:
2vc2 = (ca + cb)2 - ca2 - cb2 2vc2 = ca2 + 2ca cb + cb2 - ca2 - cb2 2vc2 = 2cacb
Vydelíme dvomi:
vc2 = ca * cb
Euklidova veta o odvesne
Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdlžníka zostrojeného z prepony a úseku na prepone priľahlého k odvesne. Pre jednotlivé odvesny trojuholníka teda platí:
Dôkaz pomocou Pytagorovej vety
vc2 = a2 - ca2 vc2 = b2 - (c - ca)2 = b2 - c2 + 2cca -ca2
Vytvoríme jednu rovnicu:
a2 - ca2 = b2 - c2 + 2cca -ca2
Vyjadríme b2 - c2 pomocou a:
a2 + b2 = c2 b2 - c2 = -a2
Dosadíme:
a2 = -a2 + 2cca 2a2 = 2cca
Vydelíme dvomi:
a2 = c * ca
Dôkaz pomocou Euklidovej vety o výške
Predpokladáme, že platí Euklidova veta o výške (dôkaz vyššie), z Pytagorovej vety vyplýva:
a2 = vc2 + ca2 a2 = ca cb + ca2 a2 = (cb + ca) ca a2 = c * ca