Kryptografia na báze eliptických kriviek

Abstraktne, konečné pole sa skladá z konečnej množiny objektov tzv. prvkov poľa, spolu s opisom dvoch operácií, sčítanie a násobenie, to možno vykonať v pároch z jednotlivých prvkov poľa. Tieto operácie musia mať určité vlastnosti. Prvky poľa charakterizuje q, ktoré predstavuje veľkosť poľa.

Ukazuje sa, že toto je konečné pole obsahujúce q prvky vtedy a len vtedy, keď q_i su prvočísla. Konečné pole s q prvkami je označované ako Fq.

U eliptyckych kriviek sú použité dva druhy konečných polí Fq :

• Fp kde q = p, čo sú nepárne prvočísla, taktiež nazývané hlavné konečné polia, p je charakteristika poľa.
• F2^m kde q = 2^m pre m ≥ 1, taktiež nazývané charakteristické binárne konečné polia.

Je potrebné veľmi presne opísať konkrétne túto oblasť, aby sa presne špecifikovali šifrovacie systémy na základe ECC na úplnom začiatku tvorby krivky a samotných kľúcov.

Eliptická krivka nad konečným poľom Fq je definovaná z hľadiska riešenia rovnice v Fq. Forma rovnice definujúca eliptickú krivku nad Fq sa líši v závislosti na tom, či konečné pole je hlavné konečné pole Fp alebo charakteristické binárne konečné pole F2^m.

Formálna definícia eliptických kriviek je veľmi technicky zložitá a vyžaduje určité zázemie vysokoškolskej algebrickej geometrie.

Eliptické krivky nad F2^m aj Fp sú non-supersingularne eliptické krivky:

• Geometricky to znamená, že graf nemá vrcholy alebo križovania.
• Krivka je non-singulárna vtedy a len vtedy, ak jej diskriminant je pozitívny, nerovný nule a jedna zo súčastí krivky je záporná.

Nech Fp je hlavné konečné pole tak, že p je nepárne prvočíslo a nech koeficienty a,bєFp a vyhovujú pre 4a³ +27b² ≠ 0 (mod p). Potom eliptická krivka E(Fp) cez Fp definovaná parametrami a, b є Fp zložená zo súboru riešení alebo bodov P = (x, y) pre x, y є Fp má rovnicu:

                                                                     y2  = x3 + ax + b (mod p)

spolu s extra bodom Ό nazývaným bod v nekonečne v projektivní rovine. Rovnica y² = x³ + ax + b (mod p) je vymedzenie rovnice E(Fp).

Pre daný bod P = (x_p, y_p):

• x_p je x-ová súradnica P.
• y_p je y-ová súradnica P.

Nech F2^m je charakteristické binárne konečné pole, a nech koeficienty a, b є F2^m a vyhovujú b≠0 v F2^m . Potom eliptická krivka E(F2^m) cez F2^m definovaná parametrami a, b є F2^m zložená zo súboru riešení alebo bodov P=(x, y) pre x, y є F2^m má rovnicu:

                                                                  y2 + xy = x3 + ax2 + b in F2m

spolu s extra bodom Ό nazývaným bod v nekonečne v projektívnej rovine.

Doménové parametre eliptickej krivky nad poľom Fp:

                                                                       T = (p, a, b, G, n, h)

• p – celé prvočíslo určené z konečného poľa Fp.
• a, b є Fp - sú použité pri definovaní rovnice krivky E(Fp):
  • E: y² = x³ + ax + b (mod p)
• G - cyklická podskupina definovaná ako základný bod na krivke G = (x_G, y_G)
• n - určuje poradie bodu G, n musí byť prvočíslo
• h - kofaktor, vyplýva z Langrangeovej vety h = E(Fp)/n , h je celočíselná hodnota (h ≤ 4), pokiaľ možno (h = 1)

Doménové parametre eliptickej krivky nad poľom F2^m:

                                                                      T = (m, f(x), a, b, G, n, h)

• m - celého číslo určené z konečného poľa F2^m.
• f(x) – irreducible binárny polynom stupňa m určujúci reprezentáciu poľa F2^m
• a,b є F2^m - špecifikujú eliptickú krivku E(F2^m):
  • E: y² + xy = x³ + ax² + b in F2m
• G - cyklická podskupina definovaná ako základný bod na krivke G = (x_G, y_G)
• n - určuje poradie bodu G, n musí byť prvočíslo
• h - kofaktor, vyplýva z Langrangeovej vety h = E(Fp)/n , h je celočíselná hodnota (h ≤ 4), pokialmožno (h = 1)

Generovanie doménových parametrov si zvyčajne vykonáva každý účastník sám, pretože ide o počítanie počtu bodov na krivke, čo je časovo náročné a problematické realizovať.

Špecifikácia FIPS 186-3 má desať odporúčaných dĺžok konečných polí, na základe ktorých sa potom generujú aj rôzne dĺžky kľúčov:

• Päť hlavných konečných polí Fp p192, p224, p256, p384 a p521
• Päť binárních konečných polí F2^m pre 2¹⁶³, 2²³³, 2²⁸³, 2⁴⁰⁹ a 2⁵⁷¹.

Tieto hodnoty pre Krivky boli vybrané pre optimálnu bezpečnosť a účinnosť vykonávania.