Elliptic Curve Digital Signature Algorithm

Zadefinujeme si subjekty:

• U – signer
• V – verifier
• M – message
• S - signature

V skutočnosti platí, že hneď po podpísaní správy M každý subjekt V s kópiou U verejného kľúča môže overiť daný podpis S.

Predpokladajme, že Alice (U) chce poslať podpísanú správu Bobovi (V).

Subjekty U a V musia vykonať nasledujúci postup pre prípravu využitia ECDSA:

• jednotka U by mala určiť, ktoré z podporovaných hašovacich funkcií je potrebné použiť pre generovanie podpisu.
• jednotka U by mala stanoviť domenové parametre eliptických kriviek T=(p, a, b, G, n, h) or (m, f(x), a, b,G, n, h) pre požadovanú úroveň zabezpečenia.
• subjekt V (Bob) by mal získať autentickým spôsobom hašovaciu funkciu a doménový parameter T, aby V mohol určiť, či doménové parametre sú platné pre krivku pomocou jednej z vybraných metód.
• jednotka U by mala vytvoriť kľúčový pár eliptických kriviek (d, Q) v spojení s T pre použitie v podpisovej schéme. Kľúčový pár tvorí verejný kľúč Q a privátny kľúč d.
• subjekt V by mal získať autentickým spôsobom Alicin verejný kľúč Q.

• Input: Vstupná správa M, ktorá je správa určená pre podpis a Alicin privátny kľúč d.
• Output: Podpis S=(r, s), zložený z dvoch celočíselných sekvencií r a s.

Na vytvorenie podpisu S z M použije Alica (U) Signture Generation Algorithm:

• 1. použijeme hašovaciu funkciu, ktorú sme zvolili na výpočet celočíselnej hash hodnoty: e=HASH(M)
• 2. vyberieme náhodné číslo k z intervalu [1, n – 1].
• 3. vypočítame r = x₁ mod n, kde x₁ = kG, ak r = 0 proces sa opakuje
• 4. vypočítame s = k⁻¹(e + rd) mod n, ak s = 0 proces sa opakuje
• 5. výstupný podpis S = (r, s)

• Input: pre overenie podpisu potrebuje Bob poznať svoju kópiu Alicinho verejného kľúča Q, pôvodnú správu M a podpis S.
• Output: Údaj o tom, či podpis S bol overený, teda či správa M je true alebo false.

Ak Bob nemá dôveru v kľúč Q, musí si ho potvrdiť:

• Overí si, či Q nie je rovná Ό , inak sú jeho súradnice platné.
• Overí si, či Q leží na danej krivke.
• 1.Overí si, či nQ = Ό, kde Ό je náš bod v nekonečno na krivke.

Následne pre overenie podpisu S sa použije Signature Verification Algorithm:

• 1. overuje, či r a s sú celé čísla v intervale [1, n - 1]. Ak nie, podpis je neplatný a overovanie je zastavené
• 2. použijeme hašovaciu funkciu na výpočet celočíselnej hash hodnoty e = HASH(M)
• 3. vypočítame: w = s⁻¹ mod n
• 4. vypočítame: u₁ = ew mod n a u₂ = rw mod n
• 5. vypočítame: R = (x_R, y_R) = u₁ G + u₂ Q , [R ≠ Ό] inak sa procedúra opakuje
• 6. vypočítame: v = x_R (mod n)
• 7. porovná či r = v, ak áno operácia je validná

Podrobnejší opis a význam jednotlivých parametrov a ich generovanie pozri v článku Kryptografia na báze eliptických kriviek.

• [1] Brown, D.: Elliptic Curve Cryptography, 2009.
• [2] Don, J., Menezes, A.: The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm, Canada, 2000.
• [3] Locke, G., Gallagher, P., Digital Signature Standard, FIPS PUB 186-3, NIST,USA, 2009