Bohrov model atómu

Bohrov model atómu je model atómu vodíka založený na troch postulátoch, ktorý v roku 1913 vytvoril Niels Bohr:

1. Elektróny sa pohybujú po kružnicovej trajektorii;
2. Pri prechode z jednej kružnice na druhú elektrón vyžiari/pohltí práve 1 fotón;
3. Sú dovolené tie trajektórie, ktorých moment hybnosti je nħ, kde n=1,2,3...;

Pre vlnovú dĺžku emitovaného žiarenia z uvedených postulátov vyplýva pravidlo

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{l^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$,

Tento vzorec nám vysvetľuje čiarový charakter vodíkového spektra. n - hlavné kvantové číslo, R - Rydbergova konštanta.

Záporne nabitý elektrón je priťahovaný kladne nabitému jadru. Aby sa udržal na stabilnom orbite, musí obiehať okolo jadra. V takom prípade je sila elektrostatická silou dostredivou.

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r^{2}}}=m{\frac {v^{2}}{r}}}$,

čiže:

${\displaystyle {\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}=mv^{2}r}$.

Energia elektrónu je daná súčtom jeho kinetickej a elektrostatickej potenciálnej energie: ${\displaystyle E=E_{k}+E_{p}}$

pre kinetickú energiu platí: ${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$ a pre potenciálnu energiu platí: ${\displaystyle E_{p}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r}}}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r}}}$, čo je po upravení: ${\displaystyle E=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{2r}}}$.

m -hmotnosť elektrónu; e -elementárny náboj; ε0 -permitivita prostredia; h - plancková konštanta; n - hlavné kvantové číslo;

Bohrova podmienka kvantovania momentu hybnosti: ${\displaystyle rmv={\frac {h}{2\pi }}n}$ , ${\displaystyle n=1,2,3,...}$,

r - polomer orbitálu, m - hmotnosť elektrónu, v - rýchlosť elektrónu, n - hlavné kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...), h - Planckova konštanta,

Bohrova kvantovacia podmienka hovorí, že ak prijmeme myšlienku de Brogliho hmotnej vlny, potom elektrón zodpovedá vlneniu s vlnovou dĺžkou ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mv}}}$ .Pre existenciu stojatej vlny okolo jadra je dôležité, aby obvod orbitu bol celočíselným násobkom vlnovej dĺžky. Potom dostávame ${\displaystyle 2\pi r={\frac {h}{mv}}}$ , čo potvrdzuje predchádzajúcu kvantovú podmienku.

Riešením druhej rovnice a dosadením výsledkov do prvej dostaneme nasledujúci výsledok pre povolené (možné) polomery:

Polomery orbitov pre hlavne kvantové číslo n: ${\displaystyle r={\frac {h^{2}\varepsilon _{0}}{me^{2}\pi }}.{n^{2}}}$

Rýchlosť ako funkcia hlavného kvantového čísla: ${\displaystyle v={\frac {e^{2}}{2nh\varepsilon _{0}}}}$

h - Planckova konštanta, e0 - permitivita vákua, m - hmotnosť elektrónu, e - veľkosť elementárneho náboja, n - hlavné kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...),

Použitím vzťahu ${\displaystyle E=E_{k}+E_{p}}$ , dostaneme:

Energiu vodíkového atómu v stave popísaným hlavným kvantovým číslom n: ${\displaystyle E=-{\frac {1}{8}}.{\frac {me^{4}}{\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}.{\frac {1}{n^{2}}}}$

m - hmotnosť elektrónu, e - elementárny náboj, e0 - permitivita vákua, h - Plancková konštanta, n - hlavné kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)

Toto je Bohrov vzorec pre energetické hladiny atómu vodíka, ktorá vedie k výrazu pre Balmerovu sériu.

Poznámka: Bohrov model atómu sa považuje za dosť umelý, avšak historicky predstavoval medzistupeň na ceste od klasickej fyziky ku kvantovej teórii.

Fyzikálny portál Chemický portál