Binárna sčítačka

Polovičná sčítačka z hradiel XOR a AND

Polovičná sčítačka (angl. Half adder) realizuje sčítanie dvoch jednomiestnych binárnych čísel. Vstupom sú dva jednobitové sčítance (A, B). Výstupom je jednobitový súčet (S) a jednobitový príznak prenosu do vyššieho rádu (C, z angl. Carry flag).

Polovičná sčítačka odovzdáva ďalej príznak prenosu do ďalšieho rádu, sama však nedokáže spracovať prenos z predchádzajúceho rádu. Nestačí preto na realizáciu viacbitového sčítania.

Booleovský zápis:

${\displaystyle S=A\oplus B}$

${\displaystyle C=A\cdot B}$

Pravdivostná tabuľka polovičnej sčítačky:

Úplná sčítačka, zložená z dvoch polovičných sčítačiek a hradla OR (bloková schéma)

Úplná sčítačka z hradiel (2x XOR, 2x AND, 1x OR). Dve polovičné sčítačky sú v schéme vyznačené červenou farbou.

Schematická značka jednobitovej úplnej sčítačky

Úplná sčítačka (angl. Full adder) realizuje sčítanie dvoch jednomiestnych binárnych čísel s pripočítaním prenosu z predchádzajúceho rádu. Vstupom sú tri jednobitové sčítance: A, B, C_i (C_i z angl. Carry-in). Výstupom je jednobitový súčet (S) a jednobitový príznak prenosu do vyššieho rádu (C_o, z angl. Carry-out).

Úplnú sčítačku je možné zložiť z dvoch polovičných sčítačiek a hradla OR (pozri obr.). Hradlo OR je navyše možné bez vplyvu na funkčnosť nahradiť hradlom XOR, nakoľko kombinácia vstupov (1, 1), pri ktorej by sa ich výstup líšil nemôže v prípade sčítania nastať (buď nastane prenos iba v prvej polovičnej sčítačke, alebo iba v druhej). Na vytvorenie úplnej sčítačky tak stačia 2 typy hradiel, čo je praktické pri ich realizácii.

Úplné sčítačky je možné zreťaziť vedľa seba (výstup C_o jednej sčítačky prepojiť so vstupom C_i ďalšej) a realizovať tak sčítanie viacbitových čísel (pozri nižšie).

Booleovský zápis:

${\displaystyle S=(A\oplus B)\oplus C_{i}}$

${\displaystyle C_{o}=(A\cdot B)+(C_{i}\cdot (A\oplus B))=(A\cdot B)+(B\cdot C_{i})+(C_{i}\cdot A)}$

Pravdivostná tabuľka úplnej sčítačky:

4-bitová sčítačka s propagáciou prenosu. Doba ustálenia obvodu je 2 * 4 = 8 čiastkových hradlových oneskorení.

N-bitová sčítačka s propagáciou prenosu (angl. Ripple carry adder, skr. RCA) vznikne jednoduchým zreťazením N úplných 1-bitových sčítačiek, prepojením výstupu C_o úplnej sčítačky n-tého bitu so vstupom C_i sčítačky (n+1). bitu (pozri obr.). Vstupom výslednej N-bitovej sčítačky sú potom dve N-bitové čísla (+ prípadný prenos z predchádzajúceho rádu), výstupom je ich súčet, široký N+1 bitov (N bitov + prenos). Názov je odvodený z princípu – príznak prenosu sa odovzdáva (propaguje) z jedného bitu do druhého.

Sčítačka s propagáciou prenosu je jednoduchá na návrh a realizáciu a teoreticky je rozšíriteľná na ľubovoľný počet bitov. Má však zásadnú nevýhodu: s rastúcou šírkou (a teda počtom zreťazených úplných sčítačiek) priamo úmerne narastá celkové oneskorenie (doba ustálenia) výsledného obvodu. Signál prenosu prechádza v každej úplnej sčítačke dvoma hradlami, takže korektný súčet sa na výstupe napr. 32-bitovej sčítačky s propagáciou prenosu objaví s oneskorením až 64 čiastkových hradlových oneskorení, čo by mohlo výrazne obmedzovať priepustnosť (maximálny možný počet sčítaní za jednotku času) sekvenčného zariadenia, využívajúceho takýto typ sčítačky. Toto obmedzenie viedlo k snahe navrhnúť N-bitové sčítačky s menším oneskorením.

4-bitová sčítačka s predikciou prenosu

Sčítačka s predikciou prenosu (angl. Carry Lookahead Adder, skr. CLA) je N-bitová binárna sčítačka, schopná vypočítať súčet v kratšom čase (v jednotkách hradlového oneskorenia) než sčítačka s propagáciou prenosu (RCA). Pri RCA musí každá čiastková 1-bitová sčítačka „čakať“ na korektný príznak prenosu od sčítačky predchádzajúceho bitu. Pri CLA sú (zjednodušene povedané) všetky prenosy medzi rádmi vypočítané súčasne – kombinačným obvodom, nazývaným jednotka predikcie prenosu (angl. Lookahead Carry Unit, skr. LCU).

Výhody:

• výpočet súčtu s oneskorením, teoreticky nezávislým od šírky vstupu – O(${\displaystyle 1}$), zatiaľ čo sčítačka s propagáciou prenosu má oneskorenie priamo úmerné šírke vstupu – O(${\displaystyle n}$)

Nevýhody:

• vyššie nároky na celkový počet hradiel – O(${\displaystyle n^{2}}$) a celkový počet tranzistorov (O(${\displaystyle n^{3}}$) kvôli potrebe hradiel s počtom vstupov úmerným šírke sčítačky) v porovnaní so sčítačkou s propagáciou prenosu (O(${\displaystyle n}$) hradiel)
• od určitého počtu bitov prestáva byť prakticky realizovateľná (kvôli počtu hradiel a výrobným obmedzeniam na počet vstupov jedného hradla). Široké sčítačky je preto potrebné realizovať viacúrovňovo – kombinovaním princípu predikcie prenosu (na nižšej úrovni) s propagáciou prenosu (na vyššej úrovni), prípadne použitím princípu predikcie prenosu na dvoch (alebo viacerých) úrovniach.