Banachova veta o pevnom bode

Nech ${\displaystyle f:X\to X}$ je zobrazenie. Bod ${\displaystyle x\in X}$ nazveme pevným bodom zobrazenia f, ak ${\displaystyle f(x)=x\,}$.

Nech ${\displaystyle (X,d)\,}$ je metrický priestor, nech ${\displaystyle A\subseteq X\,}$. Nech ${\displaystyle f:A\to A}$ je zobrazenie. Zobrazenie f nazývame kontraktívne zobrazenie alebo kontrakcia, ak existuje reálna konštanta L, ${\displaystyle 0<L<1}$ taká, že pre všetky ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in A}$ platí

${\displaystyle d(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq L\cdot d(x_{1},x_{2}).}$

Inými slovami, zobrazenie f je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre ${\displaystyle 0<L<1}$.

Z kontraktívnosti zobrazenia f možno matematickou indukciou dokázať, že platí

${\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n+1}(x))\leq L^{n}\cdot d(x,f(x)).}$

Z toho vyplýva, že pre všetky prirodzené čísla n,k platí

${\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n+k}(x))\leq \sum _{i=n}^{n+k-1}d(f^{n+i}(x),f^{n+i+1}(x))\leq \sum _{i=n}^{n+k-1}L^{i}\cdot d(x,f(x))\leq \sum _{i=n}^{\infty }L^{i}\cdot d(x,f(x))={\frac {L^{n}}{1-L}}\cdot d(x,f(x)).}$

Keďže

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L^{n}}{1-L}}\cdot d(x,f(x))=0,}$

je postupnosť ${\displaystyle \{f^{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }}$ fundamentálna. Z úplnosti metrického priestoru ${\displaystyle (X,d)\,}$ potom plynie, že existuje limita tejto postupnosti. Označme túto limitu u. Potom platí

${\displaystyle f(u)=f(\lim _{n\to \infty }f^{n}(x))=\lim _{n\to \infty }f^{n+1}(x)=\lim _{n\to \infty }f^{n}(x)=u,}$

čiže u je pevný bod zobrazenia f.

Sporom. Nech ${\displaystyle u\neq v}$ sú dva rôzne pevné body zobrazenia f. Z kontraktívnosti zobrazenia f:

${\displaystyle 0<d(u,v)=d(f(u),f(v))\leq L\cdot d(u,v)<d(u,v),}$

z čoho ${\displaystyle d(u,v)<d(u,v)}$, čo je spor.

Tvrdenie

${\displaystyle d(u,f^{n}(x))\leq L^{n}\cdot d(u,x)}$

dokážeme matematickou indukciou:

1. Nech ${\displaystyle n=1}$. Potom z kontraktívnosti f:

   ${\displaystyle d(u,f^{n}(x))=d(u,f(x))=d(f(u),f(x))\leq L\cdot d(u,x)=L^{n}\cdot d(u,x).}$

2. Nech tvrdenie platí pre ${\displaystyle n=k}$. Ukážeme, že platí aj pre ${\displaystyle n=k+1}$:

   ${\displaystyle d(u,f^{k+1}(x))=d(f(u),f^{k+1}(x))\leq L\cdot d(u,f^{k}(x))\leq L\cdot L^{k}\cdot d(u,x)=L^{k+1}\cdot d(u,x).}$