Báza (vektorový priestor)

Nech ${\displaystyle V}$ je vektorový priestor nad poľom ${\displaystyle F}$ a ${\displaystyle B\subseteq V}$.

• Množina ${\displaystyle B}$ je lineárne nezávislá, ak pre ľubovoľné vektory ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}\in B}$ z rovnosti ${\displaystyle c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}}$ vyplýva ${\displaystyle c_{1}=c_{2}=\dots =c_{n}=0}$.
• Množina ${\displaystyle B}$ generuje priestor ${\displaystyle V}$, ak každý vektor ${\displaystyle {\vec {v}}\in V}$ sa dá vyjadriť ako ${\displaystyle {\vec {v}}=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n}}$ pre nejaké ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}\in B}$. Inak povedané, lineárny obal množiny ${\displaystyle B}$ je celý priestor ${\displaystyle V}$, t.j. ${\displaystyle \langle B\rangle =V}$.

Ak ${\displaystyle B}$ je lineárne nezávislá množina a súčasne generuje priestor ${\displaystyle V}$, tak hovoríme, že ${\displaystyle B}$ je báza priestoru ${\displaystyle V}$. Ekvivalentná podmienka je, že každý vektor ${\displaystyle {\vec {v}}\in V}$ sa dá vyjadriť práve jedným spôsobom ako lineárna kombinácia konečne veľa vektorov z ${\displaystyle B}$. Koeficienty tejto lineárnej kombinácie voláme súradnice daného vektora vzhľadom na bázu ${\displaystyle B}$,

V prípade, že ${\displaystyle B}$ je konečná množina, tak sa uvedené definície dajú sformulovať o čosi jednoduchšie. Na miestach, kde sme v uvedených definíciách potrebovali vybrať konečnú podmnožinu z ${\displaystyle B}$ môžeme zobrať priamo celú bázu. T.j. môžeme definície sformulovať tak, že ${\displaystyle B=\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}\}}$ namiesto ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}\in B}$.

• Ak ${\displaystyle M}$ je ľubovoľná lineárne nezávislá množina v priestore ${\displaystyle V}$, tak existuje báza ${\displaystyle B}$ obsahujúca ${\displaystyle M}$.
• Ak ${\displaystyle M}$ je množina, ktorá generuje priestor ${\displaystyle V}$, tak existuje báza ${\displaystyle B}$ taká, že ${\displaystyle B\subseteq M}$.
• Ľubovoľné dve bázy daného priestoru ${\displaystyle V}$ majú rovnakú kardinalitu. Túto kardinalitu nazývame dimenzia priestoru ${\displaystyle V}$.
• Obrazy prvkov bázy jednoznačne určujú lineárne zobrazenie. T.j. ak máme bázu ${\displaystyle B}$ priestoru ${\displaystyle V}$ a zobrazenie ${\displaystyle g\colon B\to W}$, kde ${\displaystyle W}$ je vektorový priestor nad tým istým poľom, tak existuje práve jedno lineárne zobrazenie ${\displaystyle f\colon V\to W}$ také, že ${\displaystyle f|_{B}=g}$. (Opäť, v konečnorozmernom prípade je formulácia o čosi zrozumiteľnejšia. Ak máme bázu pozostávajúcu z vektorov ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}}$ a poznáme obrazy ${\displaystyle f({\vec {v}}_{i})={\vec {w}}_{i}}$, tak pre vektor ${\displaystyle {\vec {v}}=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n}}$ nutne musíme mať ${\displaystyle f({\vec {v}})=c_{1}{\vec {w}}_{1}+c_{2}{\vec {w}}_{2}+\dots +c_{n}{\vec {w}}_{n}}$. Dá sa overiť, že tento predpis skutočne definuje lineárne zobrazenie z ${\displaystyle V}$ do ${\displaystyle W}$.)

Majme nejaký vektorový priestor ${\displaystyle V}$ a podmnožinu ${\displaystyle W\subset V}$ takú, že lineárny obal ${\displaystyle \langle W\rangle }$ tejto množiny je rovný priestoru ${\displaystyle V}$, teda platí: ${\displaystyle \langle W\rangle =V}$.

Príklad 1.: nech ${\displaystyle W={(1,0),(0,1),(2,3)}}$ a ${\displaystyle V=R^{2}}$. Je zrejmé, že platí rovnosť ${\displaystyle \langle W\rangle =R^{2}}$. Avšak vektory ${\displaystyle (1,0),(0,1),(2,3)}$ sú lineárne závislé, pretože platí: ${\displaystyle 2(1,0)+3(0,1)=(2,3)}$, naproti tomu, vektory ${\displaystyle (1,0),(0,1)}$ sú lineárne nezávislé, preto vektory ${\displaystyle (1,0),(0,1)}$ tvoria bázu vektorového priestoru ${\displaystyle R^{2}}$ (samozrejme aj vektorového priestoru ${\displaystyle \langle W\rangle }$).

Príklad 2.: Nech je daný vektorový priestor ${\displaystyle R^{3}}$. Vektory ${\displaystyle (0,2,3),(1,0,7),(1,3,0)}$ sú lineárne nezávislé a preto tvoria bázu vektorového priestoru ${\displaystyle R^{3}}$.[1]

Niektorí autori používajú v nekonečnorozmernom prípade názov Hamelova báza, na odlíšenie od niektorých iných typov báz používaných pre nekonečnorozmerné priestory. (Napríkad Schauderova báza v Banachových priestoroch alebo ortonormálna báza v Hilbertových priestoroch.)[2] Niekedy sa však tento termín používa špecificky pre bázu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ako vektorového priestoru nad ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.[3]

Najjednoduchší príklad nekonečnorozmerného priestoru je priestor dimenzie ${\displaystyle \aleph _{0}}$. Takýto priestor môžeme dostať napríklad ako priestor ${\displaystyle c_{00}}$, pozostávajúci z postupností reálnych čísel, ktoré majú iba konečne veľa nenulových členov. Priestor ${\displaystyle c_{00}}$ je vektorový priestor nad ${\displaystyle \mathbb {R} }$, jeho báza pozostáva z postupností ${\displaystyle e_{i}}$, ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$, kde ${\displaystyle e_{i}}$ obsahuje jedinú jednotku na ${\displaystyle i}$-tom mieste. T.j. ${\displaystyle e_{1}=(1,0,0,0,\dots )}$, ${\displaystyle e_{2}=(0,1,0,0,0,\dots )}$, atď.

Pre mnohé nekonečnorozmerné vektorové priestory nevieme explicitne popísať bázu. Tvrdenie, že každý vektorový priestor má bázu, je ekvivalentné s axiómou výberu.[4]

Ľubovoľný nekonečnorozmerný Banachov priestor má dimenziu aspoň ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. Z toho napríklad vidíme, že ak má lineárny normovaný priestor spočítateľnú Hamelovu bázu, tak nemôže byť úplný.[5]

• HALBEISEN, Lorenz J.. Combinatorial Set Theory: With a Gentle Introduction to Forcing. 2. vyd. London : Springer-Verlag, 2012. ISBN 978-1-4471-2172-5. DOI:10.1007/978-1-4471-2173-2
• HEIL, Christopher. A Basis Theory Primer (Expanded Edition). Boston : Birkhäuser, 2011. 534 s. ISBN 978-0-8176-4686-8.
• KOMJÁTH, Péter; TOTIK, Vilmos. Problems and Theorems in Classical Set Theory. New York : Springer Science & Business Media, 2006. 516 s. ISBN 978-0-387-30293-5.
• KORBAŠ, Július. Lineárna algebra a geometria. Bratislava : Univerzita Komenského, 2003. 240 s. ISBN 80-223-1706-3.
• ZLATOŠ, Pavol. Lineárna algebra a geometria. Cesta z troch rozmerov s presahmi do príbuzných odborov. Bratislava : Marenčin PT, 2011. Dostupné online. ISBN 978-80-8114-111-9.
• LACEY, H. Elton. The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c. Amer. Math. Monthly, 1973, roč. 80, čís. 3, s. 298. Dostupné online. DOI: 10.1080/00029890.1973.11993276.

• Lineárny obal
• Lineárna závislosť
• Podmnožina
• Vektorový priestor