Anuita

Prepokladajme, že našim cieľom je stanoviť súčasnú hodnotu známej anuity, čiže známeho pravidelného toku konštantných platieb v budúcnosti. Na oceňovanie anuity sa používajú princípy úrokovania a časovej hodnoty peňazí.

Súčasná hodnota anuity je prirodzene rovná súčtu súčasných hodnôt všetkých budúcich platieb, ktoré z anuity vyplývajú. Predpokladajme, že platby prichádzajú pravidelne na konci každej periódy, pričom celkový počet platieb je N. Dĺžka jednej periódy je jeden rok. Výška pravidelnej splátky anuity je C. Súčasná hodnota PV_i i-tej splátky je potom podľa časovej hodnoty peňazí rovná:

${\displaystyle PV_{i}={\frac {C}{(1+r)^{i}}}}$

V tomto vzorci r značí výšku bezrizikového úroku. Keďže nás zaujíma celková súčasná hodnota (PV - present value) anuity, ktorá pozostáva z N splátok, pre túto hodnotu platí:

${\displaystyle PV=\sum _{i=1}^{N}{\frac {C}{(1+r)^{i}}}=C\left({\frac {1-(1+r)^{-N}}{r}}\right)}$

Investora môže takisto zaujímať budúca hodnota (FV - future value) všetkých peňažných tokov plynúcich z anuity, ktorú vlastní. Keďže v okamihu prijatia jednotlivej splátky môže investor túto splátku investovať do bezrizikovej investície (napríklad vo forme termínovaného vkladu do banky), ktorej výnos je totožný s bezrizikovou úrokovou sadzbou r, budúca hodnota anuity sa vypočíta ako súčet budúcich hodnôt všetkých splátok, úročených počas zvyšku trvania anuity úrokovou sadzbou r. Tento výpočet je dôležitý takisto pre platcov hypoték, keďže umožňuje zistiť celkové náklady na hypotéku.

Budúca hodnota anuity sa analogicky vypočíta ako:

${\displaystyle FV=\sum _{i=1}^{N}C(1+r)^{i}=C\left({\frac {(1+r)^{N}-1}{r}}\right)}$

Pri oboch vzorcoch sme využili nasledovný vzorec na výpočet konečného radu.:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}(1+r)^{i}=\left({\frac {(1+r)^{N}-1}{r}}\right)}$

Perpetuita je špeciálny druh anuity, niekedy nazývaná aj ako večná anuita, pri ktorom nenastáva ukončenie toku platieb, ale platby sa uskutočňujú do nekonečna. Perióda medzi dvoma platbami, rovnako ako výška jednej splátky sú aj v tomto prípade konštantné.

Známym príkladom perpetuity sú vládne dlhopisy Veľkej Británie, ktoré sú nenahraditeľné a pravidelne vyplácajú fixnú hodnotu kupónu. S týmto druhom dlhopisov sa na trhu výrazne obchoduje, keďže vlastnosti plynúce z permanentného vyplácania kupónov môžu mať pre investorov veľkú hodnotu. Ceny takýchto dlhopisov majú tendenciu vykazovať vysokú citlivosť na zmenu úrokových sadzieb na finančných trhoch. Ďalším príkladom je Model Diskontovania Dividend, ktorý počíta hodnotu akcie spoločnosti na základe budúceho toku dividendových platieb. Model predpokladá, že hodnota akcie je rovná súčtu súčasných hodnôt všetkých budúcich dividend, ktoré budú na akcu vyplatené, pričom tento prúd pravidelných platieb má charakter perpetuity.

Aj napriek tomu, že perpetuita pozostáva z nekonečného toku platieb, jej hodnota je konečná. Dôvodom je veľmi nízka súčasná hodnota platieb, ktoré nastanú v ďalekej budúcnosti. Použitím súčasnej hodnoty každej platby vypočítame súčasnú hodnotu perpetuity PV_P ako:

${\displaystyle PV_{P}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {C}{(1+r)^{i}}}={\frac {C}{r}}}$

Kde:

PV - súčasná hodnota splátok

C - kupón

r - úroková sadzba[1]

Pri výpočte sa využije vzťah na výpočet nekonečného geometrického radu:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }Ab^{i}={\frac {A}{1-b}}}$

• Úroková sadzba
• Dlhopis
• Časová hodnota peňazí