Úroková sadzba

• Fixná úroková sadzba – pozostáva zo 4 zložiek: základná sadzba, riziková prirážka, prirážka za obdobie, penalizačný poplatok za predčasné splatenie
• Variabilná úroková sadzba – skladá sa zo základnej sadzby a rizikovej prirážky
• Kombinovaná úroková sadzba – kombináciou fixnej a variabilnej úrokovej sadzby (hypotekárne úvery – prvé obdobie fixná, potom variabilná)

Nominálna úroková miera je určená v úverovej zmluve. Je to percentuálna čiastka z hodnoty dlhu, ktorú bude musieť platiť dlžník svojmu veriteľovi v stanovených časových intervaloch. Táto sadzba nie je očistená od vplyvu inflácie a zdanenia. Nezohľadňuje dobu splatnosti, likviditu a riziko investície. Je vždy vyššia ako reálna úroková miera.

Nominálna úroková sadzba = reálna úroková sadzba + očakávaná miera inflácie.

Reálna úroková miera je skutočný reálny výnos, je to nominálna úroková miera očistená o vplyv inflácie. Tento reálny výnos nám skutočne zostane na disponovanie. Reálna úroková miera odráža počet a reálny výnos pôžičiek, dlhov a úverov presnejšie než nominálna.

Graf závislosti celkovej splatenej sumy od počtu úrokovaní za rok (pre rovnaké hodnoty vstupných parametrov ako z uvedeného príkladu). Môžeme tu pozorovať limitné správanie celkovej splatenej sumy, ktorá sa blíži sume zodpovedajúcej spojitému úrokovaniu.

Je zrejmé, že hodnota jedného eura dnes nie je rovnaká, ako hodnota jedného eura zajtra. Príčinou je časová hodnota peňazí, ktorá je základným ideovým východiskom úrokových sadzieb. Ak totiž subjekt v súčasnosti vlastní peňažné prostriedky, ich vhodným investovaním (napríklad do dlhopisov krajiny, ktoré sa ešte stále považujú za bezrizikovú investíciu, alebo uložením do banky) ich môže zhodnotiť. To ale znamená, že mať jedno euro dnes je pre neho výhodnejšie ako mať ho zajtra, keďže dnes ho môže investovať a zajtra sa mu pripíše zisk vo forme úrokov.

Základný vzťah medzi súčasnou (PV – present value) a budúcou (FV – future value) hodnotou peňazí je:

${\displaystyle FV=PV(1+r)^{n}}$

kde r je anualizovaná (t. j. vyjadrená v percentách per annum) úroková miera a n je dĺžka investície v rokoch.

Takáto investícia môže pre veriteľa predstavovať pôžičku dlžníkovi. Analogicky si môžeme predstaviť aj klienta banky, ktorý si do nej vkladá peniaze (stáva sa jej veriteľom). V ďalšom označme P ako výšku istiny pôžičky, r ako (anualizovanú) úrokovú mieru tejto pôžičky a A ako celkové množstvo peňazí splatené dlžníkom veriteľovi. Predpokladajme, že celková doba pôžičky je presne jeden rok (od 1.1. po 31.12.) a úroková miera sa počas celej doby pôžičky nemení (ide o pomerne silný predpoklad).

Vo všeobecnosti množstvo A závisí okrem uvedených parametrov aj od spôsobu úrokovania pôžičky, t. j. toho, ako často sa úroky pripisujú. Predpokladajme najprv, že dlhované množstvo sa úrokuje raz ročne, na konci roka. Potom:

${\displaystyle A=P+P\times r=P(1+r)^{1}=P(1+r)}$

Pri polročnom úrokovaní je táto hodnota iná, pretože počas druhého polroku nastáva tzv. úrokovanie úrokov, celková splatená suma je teda:

${\displaystyle A=P\left(1+{\frac {r}{2}}\right)^{2}}$

pričom platí, že táto suma je vyššia ako v prípade ročného úrokovania, a to práve z dôvodu platenia „úrokov na úroky“.

Vo všeobecnosti, ak je pôžička úrokovaná n-krát ročne (n=12 pri mesačnom, n=365 pri dennom úrokovaní a pod.) a celková doba pôžičky v rokoch je t, celková splatená suma je rovná:

${\displaystyle A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}}$

Predstavme si teraz, že perióda medzi dvoma úrokovaniami je nekonečne malá (v matematickej reči ide o limitný prechod, kde limita je pre ${\displaystyle n\to \infty }$), dostávame sa do limitného prípadu úrokovania, zvaného spojité úrokovanie. Celková zaplatená suma sa v takomto prípade vypočíta nasledovne:

${\displaystyle A=P\times \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}=Pe^{rt}}$.

Pri uvedenom výpočte sme využili fakt, že ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e}$, kde ${\displaystyle e}$ je Eulerovo číslo (uvedený vzťah je jednou z definícií čísla ${\displaystyle e}$). Predpoklad spojitého úrokovania predstavuje významné zjednodušenie takmer všetkých výpočtov vo finančnej matematike, a to práve preto, že exponenciálna funkcia, rovnako ako ku nej inverzná, logaritmická funkcia, vykazujú pre potreby finančných výpočtov výhodné vlastnosti.

Výpočty a rozdiely rôznych spôsobov úrokovania ilustrujeme na nasledujúcom príklade: Predpokladajme, že firma si požičia od komerčnej banky 100 000 EUR, pričom úroková miera stanovená bankou je 5 % p.a. a firma žiada o pôžičku na dobu dvoch rokov. Označme ${\displaystyle A^{(n)}}$ celkovú splatenú sumu, ktorú pri uvedenej pôžičke zaplatí firma banke pri úrokovaní n-krát ročne. Vypočítame postupne ročné, polročné, štvrťročné, mesačné, denné a spojité úrokovanie:

${\displaystyle A^{(1)}=100000(1+0.05)^{2}=110250}$

${\displaystyle A^{(2)}=100000\left(1+{\frac {0.05}{2}}\right)^{2\times 2}=110381.29}$

${\displaystyle A^{(4)}=100000\left(1+{\frac {0.05}{4}}\right)^{2\times 4}=110448.61}$

${\displaystyle A^{(12)}=100000\left(1+{\frac {0.05}{12}}\right)^{2\times 12}=110494.13}$

${\displaystyle A^{(365)}=100000\left(1+{\frac {0.05}{365}}\right)^{2\times 365}=110516.33}$

${\displaystyle A^{(\infty )}=100000\times \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {0.05}{n}}\right)^{2\times n}=100000\times e^{0.05\times 2}=110517.09}$

Z výsledkov je zrejmé, že čím častejšie je pôžička úrokovaná, tým väčšia je celková splatená suma. Zároveň však vidíme, že jednotlivé rozdiely sa postupne zmenšujú (medzi denným a spojitým úročením je rozdiel v splatenej sume necelé euro). Vo všeobecnosti je zvýšenie periodicity úrokovania pre veriteľa vždy výhodné, pre dlžníka, naopak, nevýhodné.

Výnosová krivka amerických štátnych dlhopisov zo dňa 9. februára 2005. Táto výnosová krivka má štandardný rastúci tvar.

Ďalším významným indikátorom vo financiách je tzv. výnosová krivka (yield curve). Je to krivka zobrazujúca závislosť úroku (ktorý je stotožniteľný s výnosom) od doby splatnosti (maturity) určitého typu kontraktu. Najčastejšie sa pod kontraktom myslí dlhopis štátu. Štát emituje zvyčajne dlhopisy s rôznou dobou splatnosti (1 rok, 2 roky, 5 rokov, 20 rokov...). Investori však pri kúpe dlhopisu s dlhšou dobou splatnosti požadujú zväčša vyšší výnos, keďže ide o rizikovejšiu investíciu (počas dlhšej doby je vyššia pravdepodobnosť nastatia zlej situácie, ktorá by teoreticky mohla spôsobiť bankrot krajiny). Miera výnosu dlhopisu sa teda v závislosti od doby jeho splatnosti mení. Práve túto závislosť zachytáva výnosová krivka. Keďže dlhopisy sú emitované iba pre určité diskrétne hodnoty splatnosti, hodnoty splatností medzi nimi sa aproximujú interpoláciou, aby bola výnosová krivka definovaná na spojitej množine časov splatnosti. Keďže medzi termínom výnos a úrok je úzky vzťah, vo finančnej matematike sa výnosová krivka často nazýva aj časová štruktúra úrokových mier.

Tvar výnosovej krivky je bohatým zdrojom informácie ohľadom postojov veriteľov k dlžníkovi. Zvyčajne má výnosová krivka rastúci tvar, keďže investícia na dlhšiu dobu predstavuje vyššie riziko, ktoré je následne kompenzované vyšším výnosom. Ak ide o výnosy dlhopisov štátu, vyššie riziko vyplýva z možného bankrotu štátu, poprípade z negatívneho vývoja ekonomickej (či inej) situácie v ňom. Zriedkavo však výnosová krivka nadobúda aj klesajúci priebeh. Jednou z príčin môže byť očakávanie investorov ohľadom budúceho poklesu úrokových mier (nastáva veľký dopyt po dlhopisoch s dlhšou splatnosťou, ktorý sa odzrkadlí na ich nižšom ponúkanom výnose).

Schéma swapu úrokovej miery uvedeného v príklade. Strana A nahradí plávajúcu úrokovú sadzbu fixnou, strana B nahradí fixnú úrokovú sadzbu plávajúcou.

Swap úrokovej miery je kontrakt, v ktorom sa zmluvné strany zaväzujú k výmene peňažných tokov založených na nominálnej hodnote a aktuálnej úrokovej miere. Väčšinou ide o výmenu pevnej úrokovej miery a plávajúcej úrokovej miery (fixed-for-floating interest rate swap) alebo dvoch plávajúcich úrokových mier. Význam swapu úrokovej miery vysvetlíme na nasledujúcom fixed-for-floating príklade:

Predpokladajme, že strana A si na trhu požičiava za plávajúcu úrokovú mieru založenú na úrokovej sadzbe LIBOR, zvýšenú o 1.5 %. Strana B si je na trhu schopná požičať za fixnú úrokovú sadzbu vo výške 8.5 %. Predpokladajme, že je v záujme strany A platiť fixnú úrokovú mieru. Naopak strana B má v záujme platiť plávajúcu úrokovú mieru založenú na sadzbe LIBOR. Vytvorením nasledovného swapu úrokových sadzieb sa záujmy oboch strán naplnia:

Nech sa strany A a B dohodnú nasledovne: strana A sa zaviaže platiť strane B fixnú úrokovú sadzbu vo výške 8.65 %. Strana B sa zaviaže platiť strane A plávajúcu úrokovú sadzbu vo výške LIBOR + 0.70 %. Celkové platby sú potom nasledovné:

• Firma A: (LIBOR + 1,50 %) + 8.65 % – (LIBOR + 0,70 %) = 9,45 %
• Firma B: (LIBOR + 0,70 %) + 8,50 % – 8,65 % = LIBOR + 0,55 %

Obe strany tak dosiahli to, čo mali v záujme, keďže firma A momentálne platí fixné množstvo, zatiaľ čo firma B plávajúce. Poznamenajme, že nedochádza k žiadnej platbe istiny, istina slúži iba ako základ, z ktorého sa jednotlivé peňažné toky vypočítajú pomocou zodpovedajúcej úrokovej sadzby. Takisto, nie je zaručené že obe strany budú z takéhoto kontraktu profitovať, keďže pri nepriaznivom vývoji úrokovej sadzby LIBOR môžu obe firmy nakoniec platiť viac, ako pôvodne. Swap sa oceňuje tak, aby ani jedna strana nebola v momente uzavretia kontraktu zvýhodnená, t. j. aby hodnota kontraktu bola v čase jeho uzavretia nulová.

Forward je kontrakt, pri ktorom sa zmluvné strany zaviažu k budúcej platbe peňažných tokov úročených úrokovou sadzbou dohodnutou dnes, t. j. v momente uzavretia kontraktu. Jeho hlavnou funkciou je poistenie sa pred nepriaznivým pohybom podkladovej úrokovej sadzby, ktorá by spôsobila zvýšenie platieb.

Rovnako ako pri swapoch sa cena kontraktu stanoví tak, aby nebola vopred žiadna protistrana zvýhodnená.

Opcia na dlhopis je kontrakt, v ktorom jeho vlastník nadobúda právo, ale nie povinnosť, predať alebo kúpiť (podľa typu opcie – predajná alebo kúpna) podkladové aktívum, ktorým je dlhopis, vo vopred dohodnutom dátume splatnosti (pri americkom druhu opcií môže vlastník toto právo využiť kedykoľvek do dátumu splatnosti) za vopred stanovenú cenu. Opcie možno využiť ako na zabezpečenie, tak na stávkovanie.

Ak napríklad investor predpokladá pokles úrokovej sadzby, nákupom vhodnej kúpnej (call) opcie si môže zaobstarať právo nákupu dlhopisu v budúcnosti za nižšiu cenu, ako bude jeho trhová cena (ktorá je pri poklese úrokovej sadzby vyššia). Jeho predajom za túto vyššiu trhovú cenu si následne zabezpečí zisk. Analogicky, v prípade očakávania nárastu úrokovej sadzby investor môže (ale nemusí) byť ziskový, ak nakúpi predajnú (put) opciu.

Uvedený v roku 1977 českým matematikom Oldřichom Vašíčkom, tento model predpokladá, že krátkodobá úroková miera vyhovuje nasledovnej stochastickej diferenciálnej rovnici:

${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})dt+\sigma dW_{t}}$

W_t je špeciálny druh stochastického procesu zvaný Wienerov proces. Model má 3 parametre: a, b, σ, zodpovedajúce rýchlosti konvergencie k ustálenej hodnote, dlhodobej ustálenej hodnote a okamžitej volatilite úrokovej miery. Nevýhodou modelu je prípustnosť záporných hodnôt úrokovej miery s nenulovou pravdepodobnosťou.

Ide o úpravu Vašíčkovho modelu z roku 1985, ktorá odstraňuje prípustnosť záporných hodnôt úrokovej miery predpokladom nasledovnej stochastickej diferenciálnej rovnice:

${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})dt+{\sqrt {r_{t}}}\sigma dW_{t}}$

Význam troch parametrov je rovnaký ako vo Vašíčkovom modeli.

Modeluje krátkodobú úrokovú mieru pomocou rovnice:

${\displaystyle dr_{t}=\theta _{t}dt+\sigma dW_{t}}$

Model sa pre svoju relatívnu jednoduchosť často používa pri oceňovaní opcií na dlhopisy, swapov úrokových mier a modelovaní kreditného rizika.