Wienerův filtr

Jak je zřejmé z prvního matematického vztahu, Wienerův filtr má za úkol spočítat inverzní konvoluci za přítomnosti nenulového šumu. Problém inverzní konvoluce řeší i inverzní filtr, ale jeho korektní funkčnost je omezena jen na obrázky bez šumu. K odvození Wienerova filtru vedly následující dva předpoklady:

• ${\displaystyle E(\|f'(x,y)-f_{i}(x,y)\|^{2})\,}$ → minimální

tedy, že střední hodnota druhé mocniny přes všechny realizace šumu a pro jejich všechny parametry bude mít od hledaného obrázku minimální vzdálenost. ${\displaystyle f_{i}(x,y)\,}$ značí hledaný obrázek se všemi známými realizacemi šumu a jejich parametry, ${\displaystyle f'(x,y)\,}$ značí náš obrázek před deformací šumem. Jak patrné z prvního kritéria, tak metoda vychází z empirických znalostí šumů a pravděpodobnosti jejich rozdělení v obrázku. Druhý požadavek na Wienerův filtr je, aby byl lineární. Tento požadavek se formuluje pro frekvenční oblasti obrázků. Tedy nechť ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f')=F\,}$ je Fourierova transformace původní obraz, tak jak vypadá bez šumu. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(g)=G\,}$ je zašuměný obrázek, který má být opraven a ${\displaystyle R\,}$ je nějaká transformační matice, jež násobením transformuje poškozený obrázek do jeho "opravené" varianty. Zmiňovaná linearita filtru má tedy tvar (parametry funkcí ${\displaystyle (u,v)\,}$ označují souřadnice ve frekvenční (Fourierově) oblasti):

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f')(u,v)={\mathcal {F}}(g)(u,v)\cdot R(u,v)\,}$  →  ${\displaystyle F'(u,v)=G(u,v)\cdot R(u,v)}$

Z předchozích požadavků byl odvozen následující filtr, který po vynásobení (jedná se o násobení matic po prvcích) s maticí poničeného obrázku dá rekonstruovaný obraz:

${\displaystyle R(u,v)={\frac {1}{H(u,v)}}\cdot {\frac {|H(u,v)|^{2}}{|H(u,v)|^{2}+S_{n}(u,v)/S_{f}(u,v)}}\,}$

V tomto vzorci ${\displaystyle H(u,v)\,}$ značí Fourierův obraz impulzní odezvy ${\displaystyle h(x,y)\,}$ a podíl ${\displaystyle S_{n}(u,v)/S_{f}(u,v)\,}$ je jiný zápis tzv. Signal to Noise Ratio, což nám určuje míru zašumění obrázku. Vidíme, že tento výraz obecně závisí na parametrech frekvence ${\displaystyle (u,v)\,}$. Ale za předpokladu bílého šumu můžeme ${\displaystyle S_{n}(u,v)\,}$ psát jako rozptyl šumu ${\displaystyle \sigma _{n}^{2}\,}$ (což je konstanta v celém obrázku), dále budeme předpokládat nekorelovanost obrázku (což v reálu neplatí, ale jako přiblížení se dá použít) a můžeme tedy ${\displaystyle S_{f}(u,v)\,}$ aproximovat rozptylem obrázku ${\displaystyle \sigma _{f}^{2}\,}$. (Rozptyly jsou vlastně odhady energie šumu a energie obrázku). Z tohoto přiblížení nám vyjde, že podíl ${\displaystyle S_{n}(u,v)/S_{f}(u,v)\,}$ máme roven konstantně (číslu) ${\displaystyle \sigma _{n}^{2}/\sigma _{f}^{2}\,}$. V praxi to znamená, že za tento podíl dosazujeme různá čísla (např. od 0.001 do 1000) a koukáme, co nám dá nejlepší výsledek. Když Wienerův filtr aplikujeme na nezašuměný obrázek (tedy ${\displaystyle S_{n}(u,v)\,}$ bude rovno nule), pak nám tento filtr ${\displaystyle R(u,v)\,}$ přechází v ${\displaystyle R(u,v)={\frac {1}{H(u,v)}}\,}$, což je předpis pro inverzní filtr.