UPGMA

• První shlukování (klastrování)

Předpokládejme, že máme pět prvků ${\displaystyle (a,b,c,d,e)}$ uspořádaných v následující matici párových vzdáleností ${\displaystyle D_{1}}$:

Protože je v této matici je nejmenší hodnotou ${\displaystyle D_{1}(a,b)=17}$, v prvním kroku spojíme prvky ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$.

• Odhad délky první větve

Písmenem ${\displaystyle u}$ označme uzel, ve kterém se nyní spojují prvky ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$. Díky rovnici ${\displaystyle \delta (a,u)=\delta (b,u)=D_{1}(a,b)/2}$ je zajištěno, že prvky ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ jsou stejně vzdálené od ${\displaystyle u}$. To odpovídá hypotéze ultrametricity. Větve obou prvků ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ vedoucí k uzlu ${\displaystyle u}$ tedy mají délku ${\displaystyle \delta (a,u)=\delta (b,u)=17/2=8.5}$ (viz výsledný dendrogram).

• První aktualizace matice vzdáleností

Poté přistoupíme k aktualizaci počáteční matice ${\displaystyle D_{1}}$ na novou matici ${\displaystyle D_{2}}$ (viz níže), která bude zmenšená o jeden řádek a jeden sloupec kvůli seskupování ${\displaystyle a}$ s ${\displaystyle b}$ v předchozím kroku. Nové hodnoty vzdáleností odpovídají průměru vzdáleností mezi každým prvkem prvního klastru ${\displaystyle (a,b)}$ a každým ze zbývajících prvků:

${\displaystyle D_{2}((a,b),c)=(D_{1}(a,c)\times 1+D_{1}(b,c)\times 1)/(1+1)=(21+30)/2=25.5}$

${\displaystyle D_{2}((a,b),d)=(D_{1}(a,d)+D_{1}(b,d))/2=(31+34)/2=32.5}$

${\displaystyle D_{2}((a,b),e)=(D_{1}(a,e)+D_{1}(b,e))/2=(23+21)/2=22}$

Nově vypočtené hodnoty vzdáleností v matici ${\displaystyle D_{2}}$ jsou vyznačeny tučně. Hodnoty psané kurzívou v matici ${\displaystyle D_{2}}$ nebyly změněny oproti původní matici ${\displaystyle D_{1}}$, protože jde o vzdálenosti mezi prvky, které nebyly zahrnuty do prvního klastru.

• Druhé shlukování

Nyní zopakujeme tři předchozí kroky, počínaje tvorbou nové matice vzdálenosti ${\displaystyle D_{2}}$

V této matici je nejmenší hodnotou ${\displaystyle D_{2}((a,b),e)=22}$, proto ke klastru ${\displaystyle (a,b)}$ připojíme prvek ${\displaystyle e}$.

• Odhad délky druhé větve

Označme uzel spojující klastr ${\displaystyle (a,b)}$ a prvek ${\displaystyle e}$ písmenem ${\displaystyle v}$. Kvůli ultrametricitě musí mít větve spojující klastr (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$) a ${\displaystyle e}$ v uzlu ${\displaystyle v}$ stejnou délku: ${\displaystyle \delta (a,v)=\delta (b,v)=\delta (e,v)=22/2=11}$

Délku nové větve vypočteme následovně: ${\displaystyle \delta (u,v)=\delta (e,v)-\delta (a,u)=\delta (e,v)-\delta (b,u)=11-8.5=2.5}$ (viz výsledný dendrogram)

• Druhá aktualizace matice vzdáleností

Poté přistoupíme k aktualizaci matice ${\displaystyle D_{2}}$ na novou distanční matici ${\displaystyle D_{3}}$ (viz níže), zmenšenou o jeden řádek a jeden sloupec kvůli vzniku nového klastru ${\displaystyle (a,b)}$ a ${\displaystyle e}$. Tučně zvýrazněné hodnoty v ${\displaystyle D_{3}}$ odpovídají novým vzdálenostem, vypočteným na základně proporcionálního průměru:

${\displaystyle D_{3}(((a,b),e),c)=(D_{2}((a,b),c)\times 2+D_{2}(e,c)\times 1)/(2+1)=(25.5\times 2+39\times 1)/3=30}$

Výpočet nové vzdálenosti pomocí proporcionálního průměru umožňuje vzít v potaz větší velikost klastru ${\displaystyle (a,b}$ - dva prvky) s ohledem na ${\displaystyle e}$ (jeden prvek). Podobně vypočteme zbývající vzdálenost:

${\displaystyle D_{3}(((a,b),e),d)=(D_{2}((a,b),d)\times 2+D_{2}(e,d)\times 1)/(2+1)=(32.5\times 2+43\times 1)/3=36}$

Proporcionální průměr tedy dává stejnou váhu všem počátečním vzdálenostem matice ${\displaystyle D_{1}}$. To je důvod, proč je metoda nevážená - ne s ohledem na matematický postup, ale s ohledem na počáteční vzdálenosti.

• Třetí shlukování

Znovu zopakujeme tři předchozí kroky, přičemž nejprve vytvoříme novou matici vzdáleností ${\displaystyle D_{3}}$.

Nejmenší hodnotou této matice je ${\displaystyle D_{3}(c,d)=28}$, takže spojíme prvky ${\displaystyle c}$ a ${\displaystyle d}$ .

• Odhad délky třetí větve

Písmenem ${\displaystyle w}$ označme uzel, který spojuje prvky ${\displaystyle c}$ a ${\displaystyle d}$. Větve spojující ${\displaystyle c}$ a ${\displaystyle d}$ v uzlu ${\displaystyle w}$ pak mají délku ${\displaystyle \delta (c,w)=\delta (d,w)=28/2=14}$ (viz výsledný dendrogram)

• Třetí aktualizace matice vzdáleností

Nyní je třeba aktualizovat jen jednu hodnotu, přičemž je třeba mít na paměti, že každý z prvků ${\displaystyle c}$ a ${\displaystyle d}$ přispívají k výpočtu průměru hodnotou ${\displaystyle 1}$:

${\displaystyle D_{4}((c,d),((a,b),e))=(D_{3}(c,((a,b),e))\times 1+D_{3}(d,((a,b),e))\times 1)/(1+1)=(30\times 1+36\times 1)/2=33}$

Finální matice ${\displaystyle D_{4}}$ je následující:

Spojili jsme tudíž oba klastry ${\displaystyle ((a,b),e)}$ a ${\displaystyle (c,d)}$.

Písmenem ${\displaystyle r}$ označme (kořenový) uzel, ve kterém spojíme klastry ${\displaystyle ((a,b),e)}$ a ${\displaystyle (c,d)}$. Větve klastrů ${\displaystyle ((a,b),e)}$ a ${\displaystyle (c,d)}$ vedoucí k uzlu ${\displaystyle r}$ pak mají délky:

${\displaystyle \delta (((a,b),e),r)=\delta ((c,d),r)=33/2=16.5}$

Vypočteme délky dvou zbývajících větví:

${\displaystyle \delta (v,r)=\delta (((a,b),e),r)-\delta (e,v)=16.5-11=5.5}$

${\displaystyle \delta (w,r)=\delta ((c,d),r)-\delta (c,w)=16.5-14=2.5}$

Dendrogram je nyní dokončen.[5] Je ultrametrický, protože všechny konce větví (od ${\displaystyle a}$ po ${\displaystyle e}$) jsou stejně vzdálené od uzlu ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle \delta (a,r)=\delta (b,r)=\delta (e,r)=\delta (c,r)=\delta (d,r)=16.5}$

Dendrogram je proto zakořeněn nejhlubším uzlem ${\displaystyle r}$, který je nazýván kořen.

Alternativní klastrovací schémata zahrnují single linkage clustering (metoda nejbližšího souseda, jednospojná metoda), complete linkage clustering (metoda nejvzdálenějšího souseda, všespojná metoda) a WPGMA. Jednotlivé algoritmy se mezi sebou liší použitím jiných postupů při výpočtu vzdáleností mezi klastry v rámci tvorby nové matice. Nevýhodou nejjednodušší metody single linkage clustering je tzv. chaining phenomenon, při kterém dochází ke shlukování klastrů na základě jediného společného charakteru přestože jsou si jednotlivé prvky v klastru obecně nepodobné. Algoritmus Complete linkage clustering dokáže tuto nevýhodu řešit a tvoří klastry o přibližně stejných diametrech.[6]

Porovnání dendrogramů získaných různými shlukovacími metodami na základě stejné distanční matice .

Single-linkage clustering	Complete-linkage clustering	Average linkage clustering: WPGMA	Average linkage clustering: UPGMA

V tomto článku byl použit překlad textu z článku UPGMA na anglické Wikipedii.

• Shluková analýza
• Hierarchické seskupování
• Molekulární hodiny

• Implementace klastrovacího algoritmu UPGMA v Ruby (AI4R)
• Příklad výpočtu UPGMA pomocí matice podobnosti
• Příklad výpočtu UPGMA pomocí distanční matice