Skewesovo číslo

Skewesova čísla vznikla jako horní odhady pro řešení následujícího problému.

Nechť π(x) značí počet prvočísel menších než x a Li(x) logaritmický integrál, tj. hodnotu ${\displaystyle \int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}}$. Například z věty o prvočíslech plyne asymptotický vztah ${\displaystyle \,\pi (x)\sim {\hbox{Li}}(x)}$ (tj. ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{{\hbox{Li}}(x)}}=1}$), který zhruba řečeno říká, že „hodnoty funkcí π a Li jsou pro velké argumenty x přibližně stejné“. Přirozenou otázkou proto je, která z těchto dvou funkcí je větší?

Pro malá přirozená čísla x převažuje funkce Li, jak lze snadno spočítat. Skewesův učitel John Edensor Littlewood dokázal v roce 1914, že tomu tak není pro všechna čísla – existuje n přirozené takové, že π(n)>Li(n), a tedy nejmenší takové n (Littlewood dokázal dokonce více – funkce (π - Li)(x) mění v oboru přirozených čísel znaménko nekonečněkrát)[2]. Problém Littlewoodova důkazu spočíval v tom, že byl nekonstruktivní, tj. nebylo z něj možné určit (ani přibližně) hodnotu tohoto n.

Stanley Skewes předvedl první efektivní důkaz v roce 1933[3]. Prokázal, že za předpokladu Riemannovy hypotézy je nejmenší n, pro něž π(n)>Li(n), menší než ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{79}}}}$ (přibližně ${\displaystyle 10^{10^{8,85\times 10^{33}}}}$). Tento horní odhad dostal název Skewesovo číslo (později přejmenované na první Skewesovo číslo).

V roce 1955 se již Skewes dokázal obejít bez dodatečného předpokladu Riemannovy hypotézy, když byl v takovém případě schopen odhadnout velikost n hodnotou ${\displaystyle 10^{10^{10^{1000}}}}$ nazvanou později druhé Skewesovo číslo[4].

V roce 2000 dokázali Bays a Hudson vylepšit Skewesovy odhady na 1,39822×10³¹⁶, a to bez předpokladu Riemannovy hypotézy[5].