Semikubická parabola

Parametrická rovnice

${\displaystyle x=t^{2}}$,

${\displaystyle y=at^{3};t\in \mathbb {R} }$

Implicitní funkce

${\displaystyle ax^{3}-y^{2}=0}$

Polární soustava souřadnic

${\displaystyle r={\frac {\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi \sec \varphi }{a}}}$

Speciálními případy této křivky jsou evoluta paraboly:

${\displaystyle x={\frac {3}{4}}(2y)^{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}}$

a katakaustika Tschirnhausenovy kubiky:

${\displaystyle x=3t^{2}-9}$

${\displaystyle y=t^{3}-3t}$

Sama je speciálním případem eliptické křivky v Legendrově normální formě:

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

Křivka se někdy označuje po anglickém matematikovi W. Neilovi (1637–1670), který ji v roce 1657 objevil.

Byla první netriviální algebraickou křivkou, u které byla vypočítána délka oblouku (mezi hrotem a bodem s argumentem t při výše uvedené parametrizaci):

${\displaystyle s(t)={\frac {1}{27}}(4+9t^{2})^{\frac {3}{2}}-{\frac {8}{27}}}$

• Parabola

• Semikubická parabola v encyklopedii MathWorld (anglicky)