RANDU

RANDU je lineární kongruentní generátor pseudonáhodných čísel Parkova-Millerova typu, který byl používán od šedesátých let dvacátého století. Je definován rekurentní rovnicí

${\displaystyle V_{j+1}=65539\cdot V_{j}\,{\bmod {\,}}2^{31}\,}$

Pokud generovaná čísla bereme po trojicích jako souřadnice bodů, padnou do patnácti rovin, jak ukazuje tento trojrozměrný graf pro prvních sto tisíc hodnot

kde ${\displaystyle \scriptstyle V_{0}}$ je liché. Generuje pseudonáhodná celá čísla ${\displaystyle \scriptstyle V_{j}}$ v intervalu ${\displaystyle [1,2^{31}-1]}$.

RANDU je považován za jeden z nejhorších navržených a používaných generátorů pseudonáhodných čísel. Neprojde spektrálním testem pro dimenzi větší než 2, výsledkem jsou jen lichá čísla. Přesto se používal poměrně dlouho a na „náhodnosti“ jeho výstupu je založena řada vědeckých článků z počátku sedmdesátých let, kdy byl obzvlášť v oblibě.

Motivací pro volbu parametrů bylo, že na běžných počítačích lze velice rychle provést operace modulo 2³¹ a násobení číslem ${\displaystyle 65539=2^{16}+2^{1}+1}$. První z nich lze realizovat vynulováním dvou nejvýznamnějších bitů 32bitového registru a druhou z nich lze realizovat jen pomocí sčítání a dvou bitových posunů, tedy aniž by bylo potřeba provádět obecné násobení.

Rychlým výpočtem ovšem výhody končí, neboť zvolené hodnoty vedou k velmi degenerované náhodnosti, jak vidíme z následujícího rozepsání rekurzivního vztahu (všechny následující výpočty probíhají modulo 2³¹):

${\displaystyle x_{k+2}=(2^{16}+3)x_{k+1}=(2^{16}+3)^{2}x_{k}\,}$

z čehož umocněním máme

${\displaystyle x_{k+2}=(2^{32}+6\cdot 2^{16}+9)x_{k}=[6\cdot (2^{16}+3)-9]x_{k}\,}$

kde zjednodušení plyne z toho, že ${\displaystyle 2^{32}\mod 2^{16}=0}$. Vidíme tedy, jak prostý je vztah mezi třemi po sobě následujícími hodnotami:

${\displaystyle x_{k+2}=6x_{k+1}-9x_{k}\,}$

Nedostatečnou náhodost generovaných čísel lze ukázat i obrázkem. Jak totiž ukázal v roce 1968 George Marsaglia, tak pokud generovaná čísla budeme brát po trojicích jako souřadnice bodů eukleidovského prostoru, pak všechny takto získané body padnou do pouhých patnácti rovin.[1]