Potenciální energie

Pro přírůstek potenciálních energií platí

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {p} }=E_{\mathrm {2} }-E_{\mathrm {1} }=-W\,}$,

kde ${\displaystyle W}$ je práce, kterou vykonají síly pole, a ${\displaystyle E_{\mathrm {1} }}$, ${\displaystyle E_{\mathrm {2} }}$ je potenciální energie v bodech ${\displaystyle 1}$ a ${\displaystyle 2}$.

Pro elementární přírůstky lze předchozí vztah zapsat ve tvaru

${\displaystyle \mathrm {d} E_{\mathrm {p} }=-\mathrm {d} W\,}$

Pomocí obecného vztahu pro práci lze pak určit

${\displaystyle E_{\mathrm {p} }=-\int \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$

V konkrétních případech je podle působící síly vhodné využít vhodných speciálních vztahů pro mechanickou práci, práci elektrického pole, práci magnetického pole apod.

V případě, že lze silové působení popsat homogenním tíhovým polem s tíhovým zrychlením ${\displaystyle g\,}$ (tedy v přiblížení, kdy zanedbáváme pokles tíhového zrychlení s výškou), lze potenciální energii tělesa s hmotností ${\displaystyle m\,}$ vyjádřit jednoduchým vztahem

${\displaystyle E_{\mathrm {p} }=mgh\,}$,

kde ${\displaystyle h\,}$ je výška nad úrovní, pro kterou je potenciální energie nulová (zpravidla zemský povrch).

Ze základní poučky vyplývá, že potenciální energie je práce, kterou musíme vykonat, abychom zvedli těleso do určité výšky nad podložku. Můžeme tedy napsat:

${\displaystyle E_{p}=W}$, kde práce je dána vztahem ${\displaystyle W=F\cdot s}$, přičemž síla je z Newtonova druhého zákona ${\displaystyle F=m\cdot a}$ respektive ${\displaystyle F=m\cdot g}$, protože jsme na zemi a zde působí tíhové zrychlení ${\displaystyle g}$.

Vzorec dáme dohromady ${\displaystyle E_{p}=W=mgs}$ a dráhu ${\displaystyle s}$ (trajektorie) nahradíme vhodnějším písmenkem ${\displaystyle h}$ (výška zdvihu) a dostaneme finální vztah:

${\displaystyle E_{p}=mgh}$