Paradox sta slov

Paradox sta slov byl poprvé formulován Bertrandem Russellem roku 1906. Russell sám však veškeré zásluhy na jeho vzniku přisoudil G. G. Berrymu.

Česká abeceda obsahuje pouze konečně mnoho písmen. Proto českých (smysluplných) slov majících méně než sto písmen je také pouze konečně mnoho. Obdobně i všech českých (smysluplných) vět obsahujících méně než sto slov, z nichž každé má méně než sto písmen, je pouze konečně mnoho. Jen některé z těchto vět definují jednoznačně nějaké přirozené číslo (takovou větou je například „Dvacet sedm“ nebo „Třetí mocnina největšího dvanácticiferného prvočísla zvětšená o pět“, naopak větou, která nedefinuje žádné přirozené číslo, je například „Pražský hrad“ nebo „Nejdelší filipínská řeka“). Tedy všech vět v češtině majících méně než sto slov, z nichž každé obsahuje méně než sto písmen české abecedy, které definují nějaké přirozené číslo, je jen konečně mnoho. Všech přirozených čísel je však nekonečně mnoho. Proto musí existovat přirozené číslo, které žádnou větou splňující výše popsané podmínky definovat nelze, a tedy existuje nejmenší takové přirozené číslo. Pak ovšem věta „Nejmenší přirozené číslo, které není možné definovat pomocí věty o méně než sto slovech, z nichž každé má méně než sto písmen české abecedy“ je větou o méně než sto slovech (konkrétně o 24 slovech), z nichž každé má méně než sto písmen české abecedy, která toto číslo definuje. Tedy číslo, náležející mezi čísla (větou jistých vlastností) nedefinovatelná, je zároveň (větou těchto vlastností) definováno.

Řešení paradoxu spočívá v odlišení přirozeného jazyka (metajazyka), v němž běžně komunikujeme a přemýšlíme, od jazyka speciálního, určeného pro mluvení o objektech nějaké užší oblasti našeho zájmu. Je povoleno mluvit přirozeným jazykem o jazyce speciálním, ne však mluvit přirozeným jazykem o jazyce přirozeném ani mluvit speciálním jazykem o jazyce speciálním či přirozeném.

V případě paradoxu sta slov dochází k promíchání jazyka speciálního (zde sloužícího k definování přirozených čísel) a metajazyka v okamžiku, kdy definujeme „Nejmenší přirozené číslo, které není možné definovat…“. Zde totiž tuto „metavětu“ (tj. větu v metajazyce) považujeme zároveň za větu speciálního jazyka, který jediný umožňuje definovat přirozená čísla. Metavětou přirozená čísla definovat nelze, objekt, který metavětou definujeme, může být v nejlepším případě „metapřirozeným číslem“. Zde je jádro celého paradoxu: zatímco čísla definovaná větami (speciálního jazyka) jako například „Dvacet sedm“ jsou přirozená čísla, číslo definované metavětou „Nejmenší přirozené číslo, které není možné definovat…“ je metapřirozené číslo. Proto ve faktu, že „totéž“ číslo zároveň lze i nelze definovat, není žádný spor – toto číslo totiž není v obou případech „totéž“, jednou je přirozeným číslem a podruhé metapřirozeným, jako přirozené ho nelze definovat v (speciálním) jazyce, jako metapřirozené ho lze definovat v metajazyce.

• Richardův paradox
• Russellův paradox
• Paradox lháře