PID regulátor

Proporcionální složka, P regulátor, je prostý zesilovač. Akční veličina je přímo úměrná regulační odchylce.

${\displaystyle x(t)=r_{0}e(t)}$

kde ${\displaystyle r_{0}}$ je činitel zesílení, někdy je také uváděn jako konstanta zesílení ${\displaystyle K_{R}}$. Po použití transformace

${\displaystyle G_{R}(s)={\frac {U(s)}{E(s)}}=r_{0}=K_{R}}$

U jednoduchých soustav, kde výstup je zhruba proporcionální akční veličině plus působení „poruchové veličiny“ se působení poruchy projevuje trvalou regulační odchylkou. Velikost regulační odchylky je pak úměrná velikosti poruchové veličiny a nepřímo úměrná zesílení regulátoru. Zvyšování zesílení nad určitou mez však vede k nestabilitě regulované soustavy.

Malá trvalá regulační odchylka může být v mnoha případech přijatelná, použití regulátoru každopádně zlepší chování systému.

Integrační složka regulátoru, I regulátor, je takový regulátor, kdy akční veličina je přímo úměrná integrálu regulační odchylky. ${\displaystyle r_{i}}$ je zesílení integračního regulátoru.

${\displaystyle u(t)=r_{i}\int _{0}^{t}e(t)dt+x(0)}$

Tomu odpovídá přenos

${\displaystyle G_{R}(s)={\frac {U(s)}{E(s)}}={\frac {r_{i}}{s}}={\frac {1}{T_{i}s}}}$

V technické praxi se častěji setkáme s časovou konstantou ${\displaystyle T_{i}}$ než se zesílením integračního regulátoru ${\displaystyle r_{i}}$.

Následující úvaha platí pro jednoduché soustavy, kde výstup je zhruba proporcionální akční veličině plus působení „poruchové veličiny“. V takovém případě dokáže I-regulátor úplně eliminovat regulační odchylku. Regulační děj je však pomalejší a proti P-regulátoru může být horší stabilita soustavy. V technické praxi může docházet vlivem integrace k překmitům. Tento jev se nazývá wind-up a může se řešit přidáním nespojitého prvku (např. relé) mezi regulátor a soustavu, který v případě nulové odchylky akční veličinu omezí.

Derivační složka regulátoru, D regulátor, je takový regulátor, kdy akční veličina je přímo úměrná derivaci regulační odchylky. Vzhledem k tomu, že „čistá“ derivace není technicky realizovatelná, mluvíme o ideálním D regulátoru.

${\displaystyle x(t)=r_{d}{\frac {de(t)}{dt}}}$

Tomu odpovídá přenos

${\displaystyle G_{R}(s)={\frac {U(s)}{E(s)}}=r_{D}s}$

Derivační regulátor se používá pro zrychlení regulačního děje. Jeho nevýhodou je, že zesiluje šum, což může v některých případech vést až k jeho praktické nepoužitelnosti. Samostatně se D-regulátor nikdy nepoužívá, pouze jako D-složka je součástí PD regulátoru a PID regulátoru.

PID regulátor si můžeme představit jako součet P-regulátoru, I-regulátoru a D-regulátoru:

${\displaystyle u(t)=r_{0}e(t)+r_{D}{\frac {de(t)}{dt}}+r_{i}\int _{0}^{t}e(t)dt+x(0)}$

Tomu odpovídá přenos

${\displaystyle F_{R}(s)={\frac {X(s)}{E(s)}}=r_{0}+r_{d}s+{\frac {r_{i}}{s}}=K_{R}(1+T_{D}s+{\frac {1}{T_{I}s}})=k_{R}{\frac {(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}{s}}}$

Pro praktickou realizaci se používá tvar s ${\displaystyle K_{R}}$, ${\displaystyle T_{D}}$ a ${\displaystyle T_{I}}$. Poslední tvar se používá v simulacích a teoretických výpočtech. Pro modelování technicky realizovatelného regulátoru je možné doplnit „realizační konstantu“ pro D-složku regulátoru.

Při regulaci PID regulátorem na počátku regulace převládá vliv derivační složky, postupem času má větší vliv integrační složka.[1]

Pro realizaci PID regulátoru jako algoritmu pro PLC se používá diskrétní forma PID regulátoru. Ta má dva tvary:

• absolutní ${\displaystyle x(k)=K_{P}E(k)+\sum K_{I}E(k)\Delta t+K_{D}{\frac {E(k)-E(k-1)}{\Delta t}}}$[2]
• přírůstkový (rychlostní) ${\displaystyle x(k)=x(k-1)+K_{P}\left(E(k)-E(k-1)\right)+K_{I}E(k)\Delta t+K_{D}{\frac {E(k)-2E(k-1)+E(k-2)}{\Delta t}}}$[2]

Výhodou přírůstkové formy diskrétního PID regulátoru je odolnost vůči wind-up efektu a dále implementovatelnost adaptivních parametrů s beznárazovou změnou jejich hodnot.[2]