Přechodový jev

Přechodný jev v RL obvodu

RL obvod je tvořen zdrojem napětí a sériovým zapojením ideálního odporu (rezistoru) a ideální cívky (induktoru). Po připojení ke zdroji stejnosměrného napětí začne obvodem procházet proud, který na cívce vytvoří magnetické pole, které však zatím nemá žádnou energii. To se však rychle mění, magnetické pole se zvětšuje a na cívce se začne indukovat napětí. Toto napětí je zpočátku stejně velké jako napětí zdroje, zatímco napětí na rezistoru je rovno nule. Postupně se však bude napětí na cívce snižovat a na rezistoru zvyšovat až bude v čase T obvodem protékat proud ${\displaystyle i={\frac {U_{0}-u_{l}}{R}}}$.

${\displaystyle U=u_{l}+u_{r}[V]}$ - pro výpočet celkového napětí v obvodu

${\displaystyle i=I\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)[A]}$ - pro výpočet okamžitého proudu v obvodu

${\displaystyle u_{R}=U\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)[V]}$ - pro výpočet okamžitého napětí na rezistoru

${\displaystyle u_{l}=Ue^{-{\frac {t}{\tau }}}[V]}$ - pro výpočet okamžitého napětí na cívce

Po odpojení obvodu od zdroje napětí se začne v cívce indukovat napětí opačné polarity, které způsobí zpomalení zániku magnetického pole. Směr toku proudu se nezmění. Energie magnetického pole cívky se přemění na rezistoru na energii tepelnou.

${\displaystyle u_{l}+u_{r}=0}$

${\displaystyle i=Ie^{-{\frac {t}{\tau }}}[A]}$ - pro výpočet okamžitého proudu v obvodu

${\displaystyle u_{r}=Ue^{-{\frac {t}{\tau }}}[V]}$ - pro výpočet okamžitého napětí na rezistoru

${\displaystyle u_{l}=-Ue^{-{\frac {t}{\tau }}}[V]}$ - pro výpočet okamžitého napětí na cívce

Přičemž časovou konstantu τ vypočítáme (pro oba procesy) pomocí vztahu:

${\displaystyle \tau ={\frac {L}{R}}[s]}$

Přechodný jev v RC obvodu

RC obvod je obdobně tvořen zdrojem napětí a sériovým zapojením ideálního odporu (rezistoru) a ideálního kondenzátoru (kapacitoru). Po připojení zdroje napětí bude obvodem procházet nejvyšší možný proud, který bude omezen pouze rezistorem ${\displaystyle I={\frac {U_{0}}{R}}}$. Nenabitý kondenzátor se tak bude zpočátku chovat jako zkrat. Čím více se však bude kondenzátor nabíjet (bude v něm vzrůstat nahromaděný náboj) a poroste jeho napětí (u_c), tím menší proud bude procházet obvodem . Za dobu T tak bude obvodem procházet proud ${\displaystyle i={\frac {U_{0}-u_{c}}{R}}}$.

Úbytek napětí na kondenzátoru při připojení RC článku ke zdroji napětí.

Úbytek napětí na odporu při připojení RC článku ke zdroji napětí.

${\displaystyle U=u_{r}+u_{c}[V]}$ - pro výpočet celkového napětí v obvodu

${\displaystyle i=Ie^{-{\frac {t}{\tau }}}[A]}$ - pro výpočet okamžitého proudu v obvodu

${\displaystyle u_{r}=Ue^{-{\frac {t}{\tau }}}[V]}$ - pro výpočet okamžitého napětí na rezistoru

${\displaystyle u_{c}=U\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)[V]}$ - pro výpočet okamžitého napětí na kondenzátoru

Po odpojení obvodu od zdroje napětí se začíná kondenzátor vybíjet (chová se jako zdroj). Elektrická energie, kterou kondenzátor vybije se v rezistoru přemění na energii tepelnou. Teoreticky se kondenzátor vybíjí nekonečně dlouhou dobu. V praxi se ale považuje za vybitý, pokud obvodem prochází již jen 5% maximálního proudu, což nastává za dobu 3τ.

${\displaystyle u_{r}+u_{c}=0}$

${\displaystyle i=-Ie^{-{\frac {t}{\tau }}}[A]}$ - pro výpočet okamžitého proudu v obvodu

${\displaystyle u_{r}=-Ue^{-{\frac {t}{\tau }}}[V]}$ - pro výpočet okamžitého napětí na rezistoru

${\displaystyle u_{c}=Ue^{-{\frac {t}{\tau }}}[V]}$ - pro výpočet okamžitého napětí na kondenzátoru

Přičemž časovou konstantu τ vypočítáme (pro oba procesy) pomocí vztahu:

${\displaystyle \tau =RC[s]}$

Při analýze je nutné definovat rovnici, která vychází ze smyčky s, tedy

${\displaystyle Ri(t)+L{\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}i(t)dt=U_{0}}$

Tuto rovnici je nutné zderivovat podle času t, dostáváme rovnici druhého řádu.

${\displaystyle L{\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+R{\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {1}{C}}i(t)=0}$

Nyní můžeme vytvořit charakteristickou rovnici, u které hledáme kořeny.

${\displaystyle \lambda ^{2}+{\frac {R}{L}}\lambda +{\frac {1}{LC}}=0}$

${\displaystyle \lambda _{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}=-{\frac {R}{2L}}\pm {\sqrt {{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}-{\frac {1}{LC}}}}}$

Pokud je

${\displaystyle D\geq 0}$, pak řešením jsou 2 reálné kořeny ${\displaystyle \lambda _{1}}$ a ${\displaystyle \lambda _{2}}$ a děj je tzv. aperiodický.

${\displaystyle D=0}$, pak řešením jsou dva shodné reálné kořeny ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}}$ a děj je na tzv. mezi aperiodicity.

${\displaystyle D<0}$, pak řešením jsou 2 kořeny komplexně sdružené a děj je tzv. kmitavý.