Omezená funkce

Mějme funkci ${\displaystyle f(x)}$, jejíž definiční obor je ${\displaystyle D(f)}$, a nějakou množinu ${\displaystyle A\subseteq D(f)}$.

Existuje-li číslo ${\displaystyle K}$, takové, že pro všechna ${\displaystyle x\in A}$ platí ${\displaystyle f(x)\leq K}$, pak říkáme, že funkce ${\displaystyle f}$ je shora ohraničená (omezená) v ${\displaystyle D}$. Existuje-li supremum oboru hodnot funkce ${\displaystyle f}$, pak také existuje číslo ${\displaystyle K}$, a funkce je tedy shora omezená.

Existuje-li číslo ${\displaystyle L}$, takové, že pro všechna ${\displaystyle x\in A}$ platí ${\displaystyle f(x)\geq L}$, pak říkáme, že funkce ${\displaystyle f}$ je zdola ohraničená (omezená) v ${\displaystyle D}$. Existuje-li infimum oboru hodnot funkce ${\displaystyle f}$, pak také existuje číslo ${\displaystyle L}$, a funkce je tedy omezená zdola.

Existuje-li číslo ${\displaystyle M}$, takové, že pro všechna ${\displaystyle x\in A}$ platí ${\displaystyle |f(x)|\leq M}$, pak říkáme, že funkce ${\displaystyle f}$ je ohraničená (omezená) v D. Funkce omezená je tedy omezená shora i zdola, přičemž

${\displaystyle M=\max\{|K|,|L|\}}$

Obor hodnot omezené funkce má konečné infimum i supremum.

Pokud funkce není omezená zdola ani shora, pak je neohraničená (neomezená).