Radián

Radián je bezrozměrná odvozená jednotka[pozn. 1] soustavy SI užívaná při měření rovinného úhlu. Používá se pro něj značka rad.

Výseč kruhu s délkou stejnou jako poloměr toho kruhu má úhel rovný 1 radiánu. Plný kruh odpovídá úhlu 2π radiánů.

Některé obvyklé úhly, vyjádřené v radiánech

1 radián je středový úhel, který přísluší oblouku o stejné délce, jako je poloměr kružnice. Je to jednotkový úhel při měření v obloukové míře.

Velikost rovinného úhlu v radiánech (mezi dvěma různoběžkami) je definován jako poměr délky různoběžkami vyťatého oblouku ku jeho poloměru.

${\displaystyle \alpha ={\frac {s}{r}}\,\,[\mathrm {rad;m,m} ]}$

kde
${\displaystyle \alpha \,\,[\mathrm {rad} ]}$ ... je velikost rovinného úhlu v radiánech,
${\displaystyle {s}\,\,[\mathrm {m} ]}$ ... je délka oblouku kružnice, vyťatého rameny úhlu
${\displaystyle {r}\,\,[\mathrm {m} ]}$ ... je délka poloměru kružnice.

Z předchozího vztahu vyplývá definice v soustavě SI, kde je radián definován jako bezrozměrná jednotka, tj. jako poměr délek oblouku a poloměru.

Převod mezi mírou stupňovou a obloukovou lze tedy realizovat následovně (a je velikost úhlu v radiánech a α ve stupních):

Plný úhel má 2π radiánů – to je 360 stupňů.

${\displaystyle \alpha ={\frac {a\cdot 180}{\pi }}}$

${\displaystyle a={\frac {\alpha \cdot \pi }{180}}}$

Tedy:

${\displaystyle 1\,\mathrm {rad} ={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}296^{\circ }\approx 57^{\circ }17'45''}$

${\displaystyle 1^{\circ }={\frac {\pi }{180}}\approx 1{,}745\cdot 10^{-2}\,\mathrm {rad} }$

Radiány mají výhodu při složitějších výpočtech – zvláště při derivování či integraci není třeba počítat se speciálními konstantami. Radián je navíc relativně intuitivní jednotka. Vyjadřuje přímo délku oblouku, vytyčeného daným úhlem na jednotkové kružnici.