Lineární funkcionál

Lineární funkcionál nebo lineární forma je v matematice lineární zobrazení z množiny vektorů daného vektorového prostoru do množiny jeho skalárů. Jedná se tedy o funkcionál, který je zároveň lineární.

Definice

Nechť $V$ je vektorový prostor nad tělesem $T$ . Zobrazení $f:V\to T$ sa nazývá lineární funkcionál, pokud jde o zobrazení do tělesa, které je zároveň lineární, tj.:

$\forall x\in V\!:f(x)\in T,$
$\forall x,y\in V\!:f(x+y)=f(x)+f(y),$
$\forall x\in V\ \forall \alpha \in T\!:f(\alpha \cdot x)=\alpha f(x).$

Podmínky 2., 3. můžeme ekvivalentně přepsat do podmínky

\forall x,y\in V\ \forall \alpha ,\beta \in T\!:f(\alpha \cdot x+\beta \cdot y)=\alpha f(x)+\beta f(y).

Uvedenou definici můžeme přeformulovat tak, že $f$ je lineární zobrazení z $V$ do $T$ .

$\forall x\in V\!:f(x)\in T,$
$\forall x,y\in V\ \forall \alpha ,\beta \in T\!:f(\alpha \cdot x+\beta \cdot y)=\alpha f(x)+\beta f(y).$

Příklad

Lineární funkcionály v Rⁿ

Uvažujme o euklidovském prostoru $\mathbb {R} ^{n}$ . Předpokládejme, že vektory prostoru $\mathbb {R} ^{n}$ jsou reprezentované jako sloupcové vektory typu

x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{T}.

Potom každý lineární funkcionál možno zapsat ve tvaru

f(x)=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}.

Předchádzející výraz je možno ekvivalentně zapsat jako maticový součin

f(x)=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\cdot (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{T}.

Lineární funkcionály na $\mathbb {R} ^{n}$ mohou být tudíž reprezentovány jako $n$ -rozměrné řádkové vektory $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ .

Externí odkazy

Definice lineárního funkcionálu na Wolfram MathWorld
stránky Lubomíry Dvořákové týkající se lineární algebry

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

Lineární funkcionál

Definice

Příklad

Lineární funkcionály v Rn

Externí odkazy

Lineární funkcionály v Rⁿ