Kontingenční tabulka

Nezávislost v kontingenční tabulce znamená, že se oba znaky navzájem neovlivňují v tom, jakých konkrétních hodnot nabývají. Homogenita kontingenční tabulky znamená, že očekávané četnosti jsou v políčcích každého řádku ve stejném vzájemném poměru bez ohledu na konkrétní volbu řádku.

Ve výše uvedeném příkladu tedy hypotéza nezávislosti znamená, že pohlaví nemá žádný vliv na pravorukost/levorukost. Hypotéza homogenity pak znamená, že rozložení pravorukosti a levorukosti je stejné u mužů i žen.

Obě hypotézy znamenají z hlediska pravděpodobnosti zcela totéž, takže se pro jejich ověření používá stejný test.

Klasický test nezávislosti nebo homogenity je založen na testu dobré shody, tedy porovnání očekávaných četností v jednotlivých políčcích tabulky za předpokladu, že hodnoty obou sledovaných znaků na sobě nezávisí, a skutečných četností.

Označme

• ${\displaystyle n_{ij}}$ četnost v řádku i a sloupci j (počet pokusů, při nichž má první znak hodnotu odpovídající řádku i a druhý znak hodnotu odpovídající sloupci j)
• ${\displaystyle R_{i}}$ součet všech četností v řádku i (počet pokusů, při nichž má první znak hodnotu odpovídající řádku i bez ohledu na druhý znak)
• ${\displaystyle S_{j}}$ součet všech četností ve sloupci j (počet pokusů, při nichž má druhý znak hodnotu také odpovídající sloupci j bez ohledu na první znak)
• ${\displaystyle N}$ součet četností v celé tabulce (počet všech pokusů)

Potom za platnosti hypotézy nezávislosti (resp. homogenity) je očekávaná četnost v řádku i a sloupci j rovna:

${\displaystyle m_{ij}={\frac {R_{i}S_{j}}{N}}}$

a testování hypotézy je založeno na hodnotě testové statistiky

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{s}{\frac {(n_{ij}-m_{ij})^{2}}{m_{ij}}}}$

Pokud hypotéza nezávislosti (resp. homogenity) platí, má testová statistika přibližně rozdělení chí kvadrát o (r-1)(s-1) stupních volnosti. Hodnota testové statistiky se tedy porovná s kritickou hodnotou (kvantilem) příslušné hladiny významnosti.

Ve výše uvedeném příkladu je hodnota testové statistiky rovna 1,78 a kritická hodnota rozdělení ${\displaystyle \chi ^{2}}$ s jedním stupněm volnosti pro nejpoužívanější 5% hladiny významnosti je 3,84. Jelikož kritická hodnota není překročena, nelze hypotézu zamítnout a je tedy možné, že rozložení praváků a leváků v populaci nezávisí na pohlaví.

Pro použití testů založených na testu dobré shody (zde test nezávislosti nebo homogenity) je třeba, aby se v tabulce vyskytlo méně než 20 % políček, v nichž by očekávané četnosti byly menší než 5. V případě, že se tak stane, můžeme zvážit transformaci — sloučení některých méně obsazených kategorií (např. "ano" a "spíše ano"). Tímto testem posuzujeme celou tabulku.

Statistika chí kvadrát nevypovídá nic o síle vztahu, pouze zamítá/nezamítá nulovou hypotézu o závislosti nebo homogenitě na dané hladině významnosti alfa. Pro zjištění síly vztahu používáme upravené koeficienty, případně testování založené na podílu šancí, eventuálně u ordinálních (tj. uspořádaných) veličin na pořadí. Odlišně testujeme nominální a ordinální veličiny.

Míry asociace nominálních veličin

Poměr šancí – anglicky odds ratio; ${\displaystyle {\text{OR}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}}$

výsledek pokusu	1.populace	2.populace	celkem
zdar	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a+b}$
nezdar	${\displaystyle c}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle c+d}$
celkem	${\displaystyle a+c}$	${\displaystyle b+d}$	${\displaystyle n}$

Poměr počtu zdarů k počtu nezdarů je za jedněch podmínek ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$ a za druhých ${\displaystyle {\frac {b}{d}}}$. Podíl těchto výrazů je roven ${\displaystyle {\text{OR}}}$. Střední chyba přirozeného logaritmu poměru šancí ${\displaystyle \log({\text{OR}})}$ se dá vyjádřit jako ${\displaystyle {\text{S.E.}}(\log({\text{OR}}))={\sqrt {{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{d}}}}}$

Při dostatečně velkých četnostech je přibližný interval spolehlivosti ${\displaystyle \left(\log({\text{OR}})\pm {\text{S.E.}}(\log({\text{OR}}))\cdot z\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right)}$, kde ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=1,96}$ pro obvykle používanou 95% hladinu významnosti.

Test hypotézy o rovnosti šancí ${\displaystyle {\text{OR}}}$ a ${\displaystyle {\text{OR}}_{2}}$: ${\displaystyle z={\frac {\log({\text{OR}})-\log({\text{OR}}_{2})}{\sqrt {{\text{S.E.}}(\log({\text{OR}}))^{2}+{\text{S.E.}}(\log({\text{OR}}_{2}))^{2}}}}}$

Tuto statistiku můžeme použít např. při testování fiktivní hypotézy souvislosti pohlaví a přijetí k zaměstnavatelům A a B.

Spočítáme ${\displaystyle {\text{OR}}={\frac {18\cdot 59}{40\cdot 12}}=2{,}2125}$; zjistíme přirozený logaritmus ${\displaystyle \log({\text{OR}})=0{,}794}$; spočítáme střední chybu ${\displaystyle {\text{S.E.}}\approx 0{,}425}$; pak 95% interval spolehlivosti pro populační protějšek ${\displaystyle \log({\text{OR}})\in (0{,}794\pm 0{,}425\cdot 1{,}96)=(-0{,}039;1{,}627)}$, odlogaritmováním získáme 95% interval spolehlivosti pro podíl šancí ${\displaystyle {\text{OR}}\in (0{,}96;5{,}1)}$. Stejně budeme postupovat pro zaměstnavatele B, kde získáme ${\displaystyle {\text{OR}}\in (1{,}24;13{,}0)}$.

• ${\displaystyle \phi ={\sqrt {\frac {X^{2}}{n}}}}$ měří na rozdíl od OR také sílu míry asociace, nachází se v intervalu (0; 1) pro 4-polní tabulku
• Cramerovo V : ${\displaystyle V={\sqrt {\frac {X^{2}}{n(m-1)}}}={\sqrt {\frac {\phi ^{2}}{(m-1)}}}}$ kde ${\displaystyle m}$ je minimum z (počet řádků, počet sloupců). Lze jej získat úpravou koeficientu ${\displaystyle \phi }$. Pro čtyřpolní tabulku (nebo obecně pro tabulku, která má jen dva řádky nebo jen dva sloupce) se oba koeficienty rovnají. Cramerovo V nabývá hodnoty mezi 0 (nezávislé) a 1 (úplná kontingence).
• koeficient kontingence podle Pearsona – funguje podobně jako korelační koeficient ${\displaystyle C(kor)={\frac {C}{C(max)}}}$ Je založen na statistice chí kvadrát.

Míry asociace ordinálních veličin

Je důležité odlišit případy, kdy je ordinálního charakteru pouze jedna proměnná a kdy obě. V případech, kdy jsou obě sledované proměnné ordinálního charakteru, můžeme použít testování, založené na pořadí.

• Wilcoxonův test
• Mann-Whitney test
• Kendallův test (též Kendallovo tau, ${\displaystyle \tau }$), založený na počtu konkordancí a diskordancí
• Goodman-Kruskalův test (koeficient gama, ${\displaystyle \gamma }$) je variantou Kendallova testu

Pokud je ordinální jen jedna, pak lze použít

• Kruskal-Wallisův test

• Matice
• Odhad (statistika)
• Testování statistických hypotéz

• Přehled statistických metod – zpracování dat: Jan Hendl; Praha 2004 Portál.
• Biostatistika: Karel Zvára; Praha 2003 Karolinum.