Klasické Higgsovo pole

Spontánní narušení symetrie, vakuové Higgsovo pole a jeho přidružená základní částice Higgsův boson, jsou kvantové jevy. Vakuové Higgsovo pole je zodpovědné za spontánní narušení kalibrační symetrie základních interakcí a poskytuje Higgsův mechanismus pro generování hmotnosti elementárních částic.

Ve stejné době klasická kalibrační teorie připouští komplexní geometrickou formulaci, kde jsou kalibrační pole zastoupena propojením na hlavních svazcích. V tomto rámci je spontánní narušení symetrie charakterizováno jako snížení struktury grupy ${\displaystyle G}$ hlavního svazku ${\displaystyle P\to X}$ k jeho uzavřené podgrupě ${\displaystyle H}$. Je dobře známa věta, že takové snížení se koná tehdy a jen tehdy, když existuje globální sekce ${\displaystyle h}$ kvocientu svazku ${\displaystyle P/G\to X}$. Tato část je považována za klasické Higgsovo pole.

Klíčovým bodem je, že existuje kompozitní svazek ${\displaystyle P\to P/G\to X}$ kde ${\displaystyle P\to P/G}$ je hlavní svazek se strukturou grupy ${\displaystyle H}$. Pak pole hmoty, která mají přesnou symetrii grupy ${\displaystyle H}$ v přítomnosti klasického Higgsova pole jsou popsány v oddílech některých kompozitních svazků ${\displaystyle E\to P/G\to X}$ kde ${\displaystyle E\to P/G}$ je nějakým souborem svazku podle ${\displaystyle P\to P/G}$. Tento Lagrangián těchto hmotných polí je kalibračně invariantní pouze pokud je faktorizovatelný přes vertikální kovariantní diferenciál nějakého spojení na hlavní svazek ${\displaystyle P\to P/G}$, ale ne na ${\displaystyle P\to X}$.

Příklad klasického Higgsova pole je klasické gravitační pole označené pseudo-Riemannovou metrikou na svět potrubí ${\displaystyle X}$. V rámci kalibrační teorie gravitace, je to popsáno jako globální sekce kvocientu svazku ${\displaystyle FX/O(1,3)\to X}$ kde ${\displaystyle FX}$ je hlavní svazek tečných ${\displaystyle X}$ se strukturou grupy ${\displaystyle GL(4,\mathbb {R} )}$.