Hyperbolický tangens

Hyperbolický tangens je definován pomocí hyperbolického sinu a hyperbolického kosinu, přičemž

${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$ a

${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$, tedy

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}}$.

Hyperbolický tangens lze rovněž definovat pomocí imaginárního úhlu jako

${\displaystyle \tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!}$, kde ${\displaystyle {\rm {i}}}$ je imaginární číslo definované jako ${\displaystyle {\rm {i}}^{2}=-1}$.

• Definiční obor funkce

${\displaystyle D{\bigl (}\tanh x{\bigr )}=\mathbb {R} }$

• Obor hodnot funkce
• ${\displaystyle H{\bigl (}\tanh x{\bigr )}={\bigl (}-1,\ 1{\bigr )}}$

• Hyperbolický tangens je lichá funkce, je tedy splněna podmínka

${\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh(x).}$

• Pro součet argumentů, dvojnásobný a poloviční argument platí:

${\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\cdot \tanh(y)}}}$

${\displaystyle \tanh(2x)={\frac {2\tanh(x)}{1+\tanh ^{2}(x)}}}$

${\displaystyle \tanh {\frac {x}{2}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh(x)-1)}}}$

• Inverzní funkcí k hyperbolickému tangens je hyperbolometrická funkce argument hyperbolického tangens (argtanh x):

${\displaystyle {\mbox{argtanh}}(x)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$, kde ${\displaystyle |x|<1}$

• Derivace hyperbolického tangens:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,}$

• Neurčitý integrál:

${\displaystyle \int \tanh(ax)dx=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C}$, kde ${\displaystyle C}$ je integrační konstanta.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu hyperbolický tangens na Wikimedia Commons