Hausdorffova míra

Hausdorffova míra (dále ) je „nížedimenzionální“ míra na , která dovoluje měřit jisté „velmi malé“ podmnožiny . Základní myšlenkou je, že množina je „s-dimenzionální“ podmnožina množiny , platí-li

,

i když je velmi komplikovaná. je definovaná jako výraz obsahující součet průměrů dobrého spočetného pokrytí.


Formální definice Hausdorffovy míry

Definice: Nechť Definujme



kde



tady



je obyčejná gamma funkce.

Pro a s vlastnostmi jako výše, definujme:



nazveme s-dimenzionální Hausdorffovou mírou na .

Elementární vlastnosti Hausdorffovy míry


je Borelova regulární míra pro , není ale Radonova míra.
Z toho plyne následující:

je míra.
je míra.
je borelovská míra.

Další zajímavé vlastnosti:

je čítací míra.
na , kde je Lebesgueova míra.
na pro všechna .
pro všechna .
pro všechny afinní isometrie .

Literatura

  • Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions,
  • CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.