Edmondsův–Karpův algoritmus

Edmondsův-Karpův algoritmus je v informatice a teorii grafů implementací Fordovy-Fulkersonovy metody pro výpočet maximálního toku v síti s časovou složitostí . Je asymptoticky pomalejší než Goldbergův algoritmus s časovou složitostí , ale v praxi je rychlejší pro řídké grafy. Dinic, ruský vědec, publikoval algoritmus poprvé v roce 1970[1] nezávisle na publikování stejného algoritmu Kanaďanem Jackem Edmondsem a Američanem Richardem Karpem v roce 1972[2] (údajně objeven dříve). Dinicův algoritmus obsahuje navíc techniky, které redukují časovou složitost na .

Algoritmus

Algoritmus je téměř identický s Fordovým-Fulkersonovým algoritmem, až na to, že je definováno pořadí výběru zlepšující cesty v případě existence většího počtu zlepšujících cest. Vybraná zlepšující cesta musí být vždy nejkratší možná. Pro důkaz korektnosti a časové složitosti jsou podstatné následující vlastnosti:

  • délka nalezené zlepšující cesty v průběhu algoritmu nikdy neklesá
  • je-li v aktuálním kroku algoritmu měněn tok hranou jejíž tok byl měněn v některém z předchozích kroků, pak je délka zlepšující cesty v aktuálním kroku ostře větší než v příslušném kroku předchozím
  • cesta ze zdroje do spotřebiče je nejvýše V dlouhá a lze ji nalézt v čase .

Důkaz je dostupný v.[3]

Pseudokód

Pro podrobnější popis vizte Fordův-Fulkersonův algoritmus.
algorithm EdmondsKarp
   input:
       C[1..n, 1..n] (Matice kapacit)
       E[1..n, 1..?] (Seznam sousedů)
       s             (Zdroj)
       t             (Spotřebič)
   output:
       f             (Hodnota maximálního toku)
       F             (Matice dávající korektní tok s maximální hodnotou)
   f := 0 (Na začátku je tok nula)
   F := array(1..n, 1..n) (Reziduální kapacita z u do v je C[u,v] - F[u,v])
   forever
       m, P := BreadthFirstSearch(C, E, s, t)
       if m = 0
           break
       f := f + m
       (Vyhledává backtrackingem a vypisuje tok)
       v := t
       while v ≠ s
           u := P[v]
           F[u,v] := F[u,v] + m
           F[v,u] := F[v,u] - m
           v := u
   return (f, F)
algorithm BreadthFirstSearch
   input:
       C, E, s, t
   output:
       M[t]          (Kapacita nalezené cesty)
       P             (Parent table)
   P := array(1..n)
   for u in 1..n
       P[u] := -1
   P[s] := -2 (ujistěte se, že zdroj není objeven podruhé) 
   M := array(1..n) (Kapacita nalezené cesty k vrcholu)
   M[s] := ∞
   Q := queue()
   Q.push(s)
   while Q.size() > 0
       u := Q.pop()
       for v in E[u]
           (Jestli je dostupná kapacita a v ještě nebylo nalezené)
           if C[u,v] - F[u,v] > 0 and P[v] = -1
               P[v] := u
               M[v] := min(M[u], C[u,v] - F[u,v])
               if v ≠ t
                   Q.push(v)
               else
                   return M[t], P
   return 0, P

Příklad

Je daná síť o sedmi vrcholech, zdrojem A, spotřebičem G a kapacitami jako na obrázku:

Dvojice na hranách reprezentují současný tok a kapacitu . Dostupná kapacita hrany z vrcholu do vrcholu je , tedy celková kapacita minus použitý tok. Je-li tok hranou z vrcholu do vrcholu záporný, přičítá se ke kapacitě.

Kapacita Cesta
Výsledná síť












Všimněte si, jak se délka zlepšující cesty nalezené algoritmem nikdy nezmenšuje. Nalezené cesty jsou nejkratší možné. Nalezený tok se rovná kapacitě přes minimální řez v grafu oddělující zdroj a spotřebič. V tomto grafu je pouze jeden minimální řez, rozdělující vrcholy na množiny a s kapacitou .

Reference

  1. E. A. Dinic. Algorithm for solution of a problem of maximum flow in a network with power estimation. Soviet Math. Doklady. 1970, čís. Vol 11, s. 1277–1280.
  2. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest a Clifford Stein. Introduction to Algorithms. [s.l.]: MIT Press and McGraw-Hill, 2001. (Second edition). ISBN 0-262-53196-8. Kapitola 26.2, s. 660–663.
  3. EDMONDS, Jack; KARP, Richard M. Theoretical improvements in algorithmic efficiency for network flow problems. Journal of the ACM. 1972, čís. 19, s. 248–264. 2. vydání. Dostupné online [cit. 2007-03-26].

Externí odkazy

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.