Dinicův algoritmus

Dinicův algoritmus je algoritmus vyvinutý Jefimem Dinicem (1970) pro výpočet maximálního toku v síti. Hlavní myšlenka algoritmu spočívá v iterativním výpočtu tzv. "blokujících" toků, které se postupně nasčítají až na tok maximální. Tento přístup dovoluje v průměrném případě počítat maximální tok rychleji než Fordovým–Fulkersonovým algoritmem, který pro výpočet využívá hledání zlepšujících cest.

Algoritmus

  1. vyrobím síť rezerv
  2. projdu graf z s (zdroje) do šířky a zjistím délku d nejkratší cesty do t (stoku)
  3. vyhodím
    hrany začínající a končící ve stejné vrstvě nebo hrany nazpátek (ty nepoužijeme—nejkratší cesta jimi jít nemůže)
    a také vrcholy, které tvoří "slepé uličky" (nevede z nich žádná dopředná hrana)
    a hrany do těchto vrcholů (cyklicky—odstraněním konce slepé uličky může vzniknout nový konec)
  4. výsledek kroku 3 nazvu "čistá síť"
  5. najdu cestu z s do t délky d
  6. zjistím minimum m z rezerv na této cestě, zvýším o m tok podél celé cesty, čímž do sítě rezerv přibudou zpětné hrany s rezervou m, a u jedné hrany v cestě zmizí dopředná hrana
  7. vyčistím síť, a pokud zbude nějaká cesta z s do t délky d, jdu na krok 5
  8. vezmu celou síť a jdu na 2 (nejkratší cesta bude mít délku d+1, ty kratší už v síti rezerv nejsou)
  9. pokud už neexistuje cesta z s do t, skončil jsem (můžu najít i hrany minimálního řezu—jejich počáteční vrcholy jsou konci slepých uliček)

Příklad

Následující příklad ilustruje průběh Dinicova algoritmu. představuje aktuální stav grafu, síť rezerv a nalezený blokující tok. Červené hodnoty ve vrcholem reprezentují vzdálenost bodů od zdroje (), v ostatních grafech očíslování vrcholů.

1.

Nejkratší cesta ze zdroje do stoku má délku 3, blokojící tok sestává z následujících zlepšujících cest cest:

  1. se 4 jednotkami toku,
  2. s 6 jednotkami toku,
  3. se 4 jednotkami toku.

Celkově má blokující tok velikost 14 jednotek.

2.

Do připočteme blokující tok nalezený v předchozí iteraci. Do přidáme "protisměrné" hrany reprezentující rezervy hran v protisměru. Opět nalezneme všechny nejkratší zlepšující cesty (v tomto případě cesty délky 4) a "hladově" nalezneme blokující tok.

Ten bude obsahovat pouze následující cestu:

  1. s 5 jednotkami.

K celému toku připočteme blokující tj. is 14 + 5 = 19.

3.

Blokující tok opět připočteme do původního grafu a upravíme i hodnoty v grafu rezerv ().

V tuto chvíli již neexistuje žádná cesta ze zdroje do stoku (), tedy algoritmus vrátí maximální tok = 19.

Složitost algoritmu

Asymptotická časová složitost algoritmu je , kde n označuje počet vrcholů a m počet hran zpracovávaného grafu. Pokud chceme vyjádřit složitost pouze v závislosti na n, je tato , neboť hran grafu je řádově nejvýše .

Algoritmus lze rozdělit na fáze, kde jednou fází se rozumí jedna posloupnost kroků 2–7. O fázích platí:

  • každá fáze probíhá s asymptotickou časovou složitostí
  • v každé fázi hledáme cesty ze zdroje do spotřebiče délky d, což je délka nejkratší nezpracované cesty v grafu; d je alespoň o 1 větší než d předchozí fáze
  • fází proběhne nejvýše n

Algoritmus se dá modifikovat takzvanou metodou tří Indů: místo hledání cesty se pro každý vrchol spočítá, jaké mají rezervy vstupní hrany a výstupní hrany jednotlivých vrcholů a vrcholem s nejmenším minimem těchto hodnot se tok zvýší. Tím se asymptotická složitost zlepší na .

S použitím datových struktur (dynamické stromy) je možno nalézt blokující tok ve vrstevnaté síti v čase , čímž dostáváme složitost celého algoritmu .

Související články

Reference

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.