Celistvý prvek

Celistvý prvek je pojem z oboru komutativní algebry. Je-li dán komutativní okruh ${\displaystyle S}$ a jeho podokruh ${\displaystyle R}$, pak je prvek ${\displaystyle b\in S}$ celistvý nad ${\displaystyle R}$, je-li kořenem nějakého monického polynomu s koeficienty z ${\displaystyle R}$, tedy pokud existují ${\displaystyle n\geq 1}$ a ${\displaystyle r_{j}\in R}$ taková, že ${\displaystyle b^{n}+r_{n-1}b^{n-1}+\cdots +r_{1}b+r_{0}=0}$. Definice celistvého prvku se liší od definice algebraického prvku pouze v přidaném požadavku, aby byl polynom monický, z čehož plyne, že každý celistvý prvek je algebraický.

Množina prvků ${\displaystyle S}$, které jsou celistvé nad ${\displaystyle R}$, se nazývá celistvý uzávěr ${\displaystyle R}$ v ${\displaystyle S}$.