Booleova logika

Booleova logika se zabývá logickými operacemi "*" (konjunkce, značená též AND, & nebo ), "+" (disjunkce, značena též OR, "|", "." nebo ) a "NOT()" (negace, značena též pruhem nad částí výrazu) na množině hodnot { 0, 1 }. Jejím rozšířením je pak Booleova algebra.

16 booleovských funkcí dvou proměnných

Definice logických funkcí

jeden argument
AIDNOT
0 01
1 10
dva argumenty
ABORNORANDNANDXOR
0 0 01 01 11 0
0 1 10 01 10 1
1 0 10 01 00 1
1 1 10 10 11 0

Identita

ID – vrací stejnou hodnotu, jako měl vstup. Platí:

  • A = ID(A)
  • ID( 0 ) = 0
  • ID( 1 ) = 1

Negace

NOT – vrací opačnou hodnotu, než měl vstup. Platí:

Disjunkce

OR – vrací součet hodnot vstupů. Platí:

Konjunkce

AND – vrací součin hodnot vstupů. Platí:

Základní pravidla

Párová pravidla platí i po vzájemné záměně "+" za "*", zde jsou tyto operace vzájemně symetrické.

Absorpce

  • A*(A+B) = A, protože (A+B) jen rozšiřuje už platný a užší fakt A, takže zbytečné.
  • A+(A*B) = A, protože (A*B) jen zužuje už platný a širší fakt A, takže zbytečné.

Asociativita

  • (A+B)+C = A+(B+C)
  • (A*B)*C = A*(B*C)

Distributivita

  • A*(B+C) = AB+AC
  • A+(B*C) = (A+B)*(A+C), protože A+AB+AC+BC = A+A*(B+C)+BC = (A+A*D)+E = A+E, (substituce, pak absorpce závorky)

Neutrálnost 0 a 1

  • A+0 = A
  • A*1 = A

Idempotence

  • A+A = A
  • A*A = A

De Morganovy zákony

Logický součet a součin lze vyjádřit jeden pomocí druhého, při použití negace.

De Morganovy zákony tedy definují negace logického součtu a součinu:

16 booleovských funkcí dvou proměnných

NOR

NOR – negace součtu vstupů:

  • A NOR B = NOT (A+B)
  • A NOR B = NOT(A) * NOT(B)

NAND

NAND – negace součinu vstupů:

  • A NAND B = NOT(A) + NOT(B)
  • A NAND B = NOT (A*B)

Implikace

NOR – Buď při splněném předpokladu A vrací B, nebo z nesplněného předpokladu vyplývá cokoli a vrací 1:

  • A B = NOT(A) + B = NOT( A*NOT(B) )

Ekvivalence

EQ – porovnává shodnost hodnot všech vstupů:

  • A B = A*B + NOT(A)*NOT(B) = (A+NOT(B)) * (NOT(A)+B)

Exkluzivní disjunkce

XOR – porovnává unikátnost hodnoty každého vstupu:

  • A XOR B = A*NOT(B) + B*NOT(A)

XOR versus NEQ

Obecně jsou XOR a nonekvivalence rozdílné funkce, ale pro dvě dvouhodnotové proměnné dále platí:

  • ( A XOR B ) = NOT( A B )

nebo jinak,

  • XOR(A,B) = NOT(EQ(A,B))

Související články

Externí odkazy

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.