Bellova nerovnost

Bellova nerovnost má tvar:

${\displaystyle n(\alpha _{+}\beta _{+})\leq n(\alpha _{+}\gamma _{+})+n(\beta _{+}\gamma _{+})}$.

Bližší pohled na její odvození. Nechť ${\displaystyle N(+++)}$ je počet částic v našem testu s hodnotami ${\displaystyle \alpha _{+}}$, ${\displaystyle \beta _{+}}$, ${\displaystyle \gamma _{+}}$ (a obdobně pro další kombinace orientací). Nechť ${\displaystyle N(\alpha _{+}\beta _{+})}$ označuje počet částic s ${\displaystyle \alpha _{+}}$, ${\displaystyle \beta _{+}}$ a s neurčenou hodnotou ${\displaystyle \gamma }$ (a podobně). Pak platí

${\displaystyle N(\alpha _{+}\beta _{-})=N(+-+)+N(+--),N(\alpha _{+}\gamma _{-})=N(++-)+N(+--),N(\beta _{-}\gamma _{+})=N(+-+)+N(--+)}$.

Protože všechny ${\displaystyle N}$ jsou nezáporné (jde o počty případů), musí platit

${\displaystyle N(\alpha _{+}\beta _{-})\leq N(\alpha _{+}\gamma _{-})+N(\beta _{-}\gamma _{+})}$.

Uvědomíme-li si, že pokud má jedna z částic ${\displaystyle \alpha _{+}}$, musí mít druhá částice z páru ${\displaystyle \alpha _{-}}$ atd. Veličiny ${\displaystyle n}$ jsou úměrné součtům dvojic ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {n(\alpha _{+}\beta _{+})}{N(\alpha _{+}\beta _{-})+N(\alpha _{-}\beta _{+})}}={\frac {n(\alpha _{+}\gamma _{+})}{N(\alpha _{+}\gamma _{-})+N(\alpha _{-}\gamma _{+})}}={\frac {n(\beta _{+}\gamma _{+})}{N(\beta _{+}\gamma _{-})+N(\beta _{-}\gamma _{+})}}}$.

Potom ze zmíněné nerovnosti

${\displaystyle N(\alpha _{+}\beta _{-})\leq N(\alpha _{+}\gamma _{-})+N(\beta _{-}\gamma _{+})}$

a z podobné nerovnosti se zaměněnými symboly + a − vyplývá konečný vztah pro Bellovu nerovnost:

${\displaystyle n(\alpha _{+}\beta _{+})\leq n(\alpha _{+}\gamma _{+})+n(\beta _{+}\gamma _{+})}$.

Tento teorém v obecné rovině staví lokální realismus jako neslučitelný s kvantovou mechanikou. Nejedná se ovšem o teorém (ani Bell ho tak nikdy nenazval), ale jde spíše o interpretaci. Neslučitelnost kvantové mechaniky s lokálním realismem je dle Bellova/CHSH teorému prokázána na dvojici kvantově provázaných částic.

Lokální realismus pro takové páry částic předpokládá, že vlastnosti těchto částic (jejich provázanost) vznikají v okamžiku vzniku jejich provázanosti – typicky srážkou nějakých jiných částic, při které vznikne kvantově provázaný pár. Dle lokálního realismu si tedy tyto vlastnosti nesou částice nadále s sebou i když se od sebe vzdálí. Bellův teorém se konkrétně zaměřuje na spin obou částic. Protože spin má vždy stejnou absolutní hodnotu a mění se jen jeho znaménko, musíme pro další vysvětlení principu předpokládat opakované měření více párů částic a statistické vyhodnocení výsledků.

Měření prokazují, že spin obou částic ve stejné ose je vždy opačný (je tedy dokonale antikorelován, korelace = −1). Spin obou částic, měřený v osách, mezi nimiž je úhel 90°, je náhodný (má korelace = 0).

Lokální realismus předpovídá, že pro opakovaná měření v osách, které jsou od sebe odchýleny o 45°, může být korelace jen mezi 0 a −0,5. To vyplývá z toho, že spin v každé ose je dán již v okamžiku vzniku páru částic a pokud mezi každými dvěma úhly 90° je korelace = 0 a pro shodné osy je korelace = −1, tak aby osa, mezi těmito dvěma polohami (tj. 45°), měla shodnou korelaci k oběma předchozím, tak tato korelace musí být mezi hodnotami 0 a −0,5. Větší antikorelace k jedné z os by nutně vedla k menší antikorelaci ke druhé ose.

Naproti tomu kvantová mechanika předpovídá, a experimentální měření to potvrzují, že korelace spinu částic může při úhlu 45° nabývat až hodnoty cca −0,7 (přesně je to minus odmocnina ze 2 dělená 2). Tento výsledek je však v rozporu s lokálním realismem, protože druhá měřená částice "se nějak dozví" v jakém úhlu byla měřena ta první a "přizpůsobí" svůj spin tak, aby korelace byla vyšší. To lze prokázat i opakováním měření téhož páru částic v různých osách, kdy pro každá dvě po sobě jdoucí měření při úhlu 45° se prokazuje vyšší korelace. (Pár částic si jakoby pamatuje poslední pár měření – starší měření "zapomíná" a pokud tedy změříme např. spin v ose x, potom změříme spin v několika jiných osách a opět spin v ose x, může se spin lišit – tak, aby vyhověl korelaci s měřením předchozí osy.)

Obdobná pravidla platí i pro úhly 135°, 225°, 315°.

Existuje však klasická analogie optických polí, která porušuje Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH) Bellovu nerovnost (překračuje hodnotu 2) a blíží se k maximální možné hodnotě (Tsirelsonovu limitu 2,828).[1] Existence klasických analogií tak přináší otázku, co je kvantové.[2] S tím souvisí také interpretace kvantové mechaniky.

Na podzim roku 2015 proběhl na Technické Univerzitě v holandském Delftu (TU Delft) experiment, který podle autorů definitivně prokázal neplatnost lokálního realismu, neboť prostorová a časová dispozice experimentu vyloučila možnost komunikace provázaných částic v rámci platné fyziky (rychlost světla).[3]

Přesto již Bell uvedl, že je v teorii obsažen předpoklad svobodné vůle a že pak superdeterminismus může reprodukovat stejné výsledky. Nikdy totiž nelze vyloučit, zda dva zdroje jsou opravdu nezávislé.[4]