Optimalizace mravenčí kolonií

Mějme tedy graf ${\displaystyle G=(V,E)}$ a váhy hran ${\displaystyle c:E\mapsto \mathbb {R} }$, tedy formální reprezentaci mapy s městy, hranami mezi nimi a jejich cenami. Snažíme se nalézt nejkratší kružnici procházející každým vrcholem. Účelová funkce pro tento problém je tedy součet vah hran na kružnici. Jako reprezentaci částečného řešení budeme používat binární proměnnou ${\displaystyle X_{e}}$ pro každou hranu -- tedy zda hrana v částečném řešení je, nebo není. Hrany jsou tedy komponentami řešení. Ke každé hraně ${\displaystyle e_{i,j}}$ (hrana mezi vrcholy ${\displaystyle i}$ a ${\displaystyle j}$) si tedy budeme uchovávat sílu feromonové stopy ${\displaystyle \tau _{i,j}}$. Úlohou každého mravence je konstrukce platného řešení, tedy platné kružnice v grafu.

Nejprve je vybrán jeden náhodný vrchol jako počátek. Mravenec poté postupně opakuje konstrukční krok, kdy si vybírá nějaké město, ve kterém ještě nebyl a posouvá se do něho z aktuálního města. Jakmile nezbývají žádné nepoužité vrcholy, mravenec se vrací do počátečního města. V důsledku si tedy mravenec uchovává svoji trasu ${\displaystyle T}$. Pokud se tedy aktuálně mravenec nachází ve městě ${\displaystyle v_{i}}$, pak pravděpodobnost, že se mravenec vydá do města ${\displaystyle j}$ je ${\displaystyle P(e_{i,j})={\tau \over \sum _{k\in \{1\dots |V|\},k{\not \in }T}\tau _{i},k}}$, kde ${\displaystyle {v_{j}{\not \in }T}}$.

Jakmile všichni mravenci ukončí konstrukční fázi, je nutné pozměnit hladiny feromonů na hranách. Nejprve se feromon odpaří: ${\displaystyle \tau _{i,j}=\tau _{i,j}\cdot \rho }$, kde ${\displaystyle \rho }$ odpovídá koeficientu odpařování.

Poté se započítá feromonová stopa, kterou každý mravenec při procházení po hranách zanechal. Za každého mravence se tedy započte: ${\displaystyle \tau _{i,j}=\tau _{i,j}+{Q \over f(s)}}$, kde ${\displaystyle Q}$ je nějaká kladná konstanta, ${\displaystyle f}$ je účelová funkce a ${\displaystyle s}$ je nalezené řešení daného mravence.

Tento postup však nikdy nezískal větší popularity, protože v době jeho vzniku už existovaly jiné, efektivnější algoritmy.

Haibin v roce 2010[3] publikoval důkaz konvergence algoritmu při jeho aplikaci na problém obchodního cestujícího. V důkazu dochází k tvrzení, že při nekonečném počtu kroku je pravděpodobnost nalezení optimálního řešení rovna 1. Ačkoliv se v článku hovoří o ACO, jako celé meta-heuristice, v použitém značení u důkazu se nezmiňuje žádné zobecnění a hovoří se pouze o problému obchodního cestujícího.

V této fázi všichni mravenci paralelně a asynchronně procházejí sousedícími vrcholy konstrukčního grafu a postupně staví svá řešení. Využívají při tom feromonových stop a nějakých dodatečných heuristických informací o úloze (například v případě obchodního cestujícího můžeme upřednostňovat kratší hrany). Jakmile mravenec dokončí sestavování svého řešení, vyhodnotí ho (zjistí hodnotu účelové funkce pro toto řešení) a výsledná hodnota bude použita ve fázi aktualizace feromonu.

Aktualizace feromonu upravuje intenzitu feromonových stop na použitých cestách v konstrukčním grafu. Intenzita feromonu se buď zvyšuje, nebo snižuje. Ke zvýšení typicky dochází, pokud je stopa používána mnoha mravenci. Ke značnému zvýšení ale může dojít i tedy, použije-li spojení jeden mravenec, který však najde velmi úspěšné řešení. Feromonová stopa tak zanechává ostatním mravencům informaci o preferované volbě.

Naopak intenzitu feromonu snižujeme v průběhu času, pokud tedy mravenci spojení používají málo nebo vůbec, preference této volby se postupně vytratí. Tento mechanismus představuje užitečnou formu zapomínání, která zabraňuje předčasné konvergenci do lokálních optim.

Vnější zásahy slouží k provedení úprav výpočtu, které nelze provádět na úrovni mravence. Tato fáze není nutná, ale používá se k různým vylepšením řešení z globální perspektivy. Někdy se jedná se buď o dodatečné lokální hledání v okolí nalezených řešení. Může však jít i o zvýhodnění nejlepšího nalezeného řešení pomocí posílení jím použitých feromonových stop.