Šestiúhelníkové číslo

Šestiúhelníková čísla jsou figurální čísla odpovídající šestiúhelníku. Konkrétně je šestiúhelníkové číslo rovno počtu bodů, ze kterých lze sestavit pravidelný šestiúhelník dle obrázku.

První čtyři šestiúhelníková čísla

Vzorec pro ${\displaystyle n}$-té šestiúhelníkové číslo ${\displaystyle h_{n}}$ je

${\displaystyle h_{n}=2n^{2}-n=n(2n-1)={{2n}\times {(2n-1)} \over 2}.\,\!}$

Několik prvních šestiúhelníkových čísel je 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, atd. (Posloupnost A000384 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.)

Každé šestiúhelníkové číslo je zároveň trojúhelníkové číslo, ale jenom každé druhé trojúhelníkové číslo je šestiúhelníkové. Stejně jako u trojúhelníkových čísel, může být ciferace šestiúhelníkového čísla (v desítkové soustavě) pouze 1, 3, 6 nebo 9, a to v pořadí 1, 6, 6, 1, 9, 3, 1, 3, 9, atd.

Všechna sudá dokonalá čísla jsou šestiúhelníková. Jsou dána vzorcem

${\displaystyle M_{p}2^{p-1}=M_{p}(M_{p}+1)/2=h_{(M_{p}+1)/2}=h_{2^{p-1}},}$

kde ${\displaystyle M_{p}}$ je Mersennovo prvočíslo. Např. druhé šestiúhelníkové číslo je ${\displaystyle 2\cdot 3=6}$, čtvrté je ${\displaystyle 4\cdot 7=28}$, šestnácté je ${\displaystyle 16\cdot 31=496}$ a šedesátéčtvrté je ${\displaystyle 64\cdot 127=8\,128}$. Protože nejsou známa žádná lichá dokonalá čísla, tak jsou všechna známá dokonalá čísla šestiúhelníková.

Největší přirozené číslo, které nelze zapsat jako součet nejvýše čtyř šestiúhelníkových čísel, je 130. Adrien-Marie Legendre v roce 1830 dokázal, že se takto dají vyjádřit všechna přirozená čísla větší než 1 791.