Čerenkovovo záření

Při průchodu elektricky nabité částice látkovým prostředím dochází k místní polarizaci atomů a molekul podél dráhy. Po průchodu částice se atomy samy opět depolarizují, přičemž získanou energii vyzařují ve formě elektromagnetického záření. To podléhá interferenci, jejíž výsledek závisí na rychlosti částice.

Je-li rychlost pohybu částice v prostředí větší než je fázová rychlost světla, mohou se elektromagnetické vlny, vznikající v různých místech dráhy, dostat do fáze a ve vhodném úhlu θ se tyto fáze mohou sečíst a vznikne pozorovatelné záření.

Animace vzniku Čerenkovova záření

Každé místo dráhy částice se vlivem depolarizace prostředí stává zdrojem slabého elektromagnetického signálu, jenž se šíří rychlostí ${\displaystyle {\frac {c}{n}}}$, kde ${\displaystyle n}$ představuje index lomu daného optického prostředí pro danou frekvenci záření. Za dobu ${\displaystyle t}$ se zmíněný signál rozšíří do kulové vlnoplochy o poloměru ${\displaystyle {\frac {c}{n}}\cdot t}$, zatímco částice urazí vzdálenost ${\displaystyle vt=\beta ct}$, kde ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$. Během uvažované doby se od dalších bodů dráhy postupně rozbíhají kulové vlnoplochy, jejichž společná obálka tvoří plášť kužele.

Řez kuželem, který vytváří společná obálka kulových vlnoploch rozbíhajících se od bodů dráhy částice při vzniku Čerenkovova záření. Na obrázku červená šipka znázorňuje rychlost částice, ${\displaystyle \beta }$ je poměr ${\displaystyle {\frac {v}{c}}}$, ${\displaystyle n}$ je index lomu prostředí. Modré šipky ukazují směr šíření Čerenkovova záření. Z obrázku plyne, že ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{n\beta }}}$

V řezu tohoto kužele lze nalézt pravoúhlý trojúhelník z něhož vyplývá, že zesilující interference bude nastávat pod úhlem ${\displaystyle \theta }$, pro nějž platí: ${\displaystyle \cos {\theta }={\frac {\frac {ct}{n}}{vt}}={\frac {c}{nv}}={\frac {c}{n{\beta }c}}={\frac {1}{n\beta }}}$. Pod oním úhlem se také vzniklé záření kuželovitě rozbíhá od dráhy letící částice. Podmínkou pro vznik Čerenkovova záření je pohyb nabité částice rychlostí nejméně rovnou prahové rychlosti ${\displaystyle v_{min}}$.

Kosinus úhlu může nabývat nanejvýše hodnoty ${\displaystyle 1}$, pro níž je rychlost částice nejmenší a dle předchozího vychází ${\displaystyle v_{min}={\frac {c}{n}}}$, tudíž je rovna rychlosti záření v látkovém prostředí. Odpovídající úhel ${\displaystyle \theta }$ pak vychází ${\displaystyle \theta =0^{\circ }}$ a vyzařování jde ve směru pohybu částice.

Pro maximální úhel vyzařování u částice, která by se pohybovala rychlostí ${\displaystyle v_{max}=c}$ (jíž se však reálně může hmotná částice jen přiblížit) by platil vztah ${\displaystyle \cos {\theta }={\frac {c}{c}}\cdot {\frac {1}{n}}={\frac {1}{n}}}$, kde ${\displaystyle n}$ zastupuje index lomu prostředí pro vznikající záření.

Minimální rychlosti potřebné k vyzařování Čerenkovova záření odpovídá kinetická energie částice rovna

${\displaystyle E_{min}={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-m_{0}c^{2}={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {1}{n^{2}}}}}}-m_{0}c^{2}}$.

Ve vodě s indexem lomu ${\displaystyle n=1{,}33}$ činí prahová rychlost pro vznik Čerenkovova záření ${\displaystyle v_{min}=0{,}75c}$, což pro elektron odpovídá prahové kinetické energii ${\displaystyle E_{min}=0{,}26\,{\rm {MeV}}}$; elektron prolétající vodou maximální rychlostí (${\displaystyle \cos \theta _{max}={\frac {1}{1{,}33}}\doteq 0,752}$) bude čerenkovsky vyzařovat pod úhlem ${\displaystyle \theta _{max}\doteq 41{,}2^{\circ }}$.

Tabulka prahových rychlostí a energií pro některé částice

Čerenkovovo záření způsobuje energetické ztráty a brzdění částice, ale tento vliv je ve srovnání s jinými ztrátami (ionizace, excitace, ...) zanedbatelný. Množství energie, které se vyzáří na dráze dl při pohybu částice s nábojem q je dáno vztahem ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} l}}={\frac {q^{2}}{c^{2}}}\cdot \int _{\omega }(1-{\frac {1}{\beta ^{2}n^{2}}})\omega \mathrm {{d}\omega } }$, kde β = v/c. Integrujeme zde přes kruhovou frekvenci záření ω = 2πf = 2π/λ.

Počet fotonů dN vyzářených s energií ${\displaystyle hf=\hbar \omega }$ na dráze dl je

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} l}}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} l}}\cdot {\frac {\lambda }{hc}}={\frac {4\pi ^{2}q^{2}}{hc}}\cdot \int _{\lambda }{\frac {(1-{\frac {1}{\beta ^{2}n^{2}}})}{\lambda ^{2}}}\mathrm {{d}\lambda } }$.

Výraz za integrálem vyjadřuje spektrum Čerenkovova záření. Vyplývá z něj, že spektrum je stejné pro všechny částice se stejným nábojem q, je spojité a počet vyzářených fotonů klesá s druhou mocninou vlnové délky λ.

• Čerenkovův detektor
• Geiger–Müllerův počítač

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Čerenkovovo záření na Wikimedia Commons
• Vojtěch Ullmann – Jaderná fyzika