Zhodné zobrazenie

Zhodné zobrazenie alebo izometria je izomorfizmus metrických priestorov, ktoré zachováva vzdialenosti. V prípade transformácie nejakého metrického priestoru sa často používa aj termín zhodnosť.

Zhodné zobrazenia sú špeciálnym prípadom podobných zobrazení s koeficientom 1.

Školská definícia

Zobrazenie euklidovského priestoru na seba sa nazýva zhodnosť (pojem zhodné zobrazenie je všeobecnejší pojem ako zhodnosť), ak pre každé dva body (vzory) X,Y a ich obrazy X',Y’ platí: |X,Y| = |X’,Y'|. (Vzdialenosť každých dvoch bodov sa rovná vzdialenosti ich obrazov).

Z definície zhodnosti vyplýva: Zhodnosť zachováva veľkosti uhlov. Zhodnosť zachováva veľkosti obsahov útvarov. Všetky zhodnosti s operáciou skladanie zhodností vytvárajú grupu.


Platí: Každá zhodnosť v euklidovskej rovine (E2) sa dá zložiť z najviac troch osových súmerností.

Posúvanie (špeciálne - identita) sa dá zložiť z dvoch osových súmerností, ktorých osí sú navzájom rovnobežné. Otáčanie (špeciálne - stredová súmernosť) sa dá zložiť z dvoch osových súmerností, ktorých osí sú navzájom rôznobežné. Posunuté zrkadlenie sa dá zložiť z troch osových súmerností.

Platí: Každá zhodnosť v euklidovskom priestore (E3) sa dá zložiť z najviac štyroch rovinových súmerností.

Platí (zovšeobecnenie predchádzajúcich tvrdení): Každá zhodnosť v euklidovskom n-rozmernom priestore (En) sa dá zložiť z najviac (n+1) súmerností podľa (n-1)-rozmerných podpriestorov (nadrovín).

Prehľad zhodností euklidovského priestoru (až po E3)
  • E1
    • súhlasné zhodnosti (→ súhlasná (nesprávne - priama) zhodnosť):
      • Identita
      • Posúvanie (translácia)
    • nesúhlasná zhodnosť:
      • Stredová súmernosť
  • E2
    • súhlasné zhodnosti:
      • Identita
      • Posúvanie (translácia)
      • Otáčanie (rotácia)
    • nesúhlasné zhodnosti:
  • E3
    • Identita
    • Posunutie (translácia)
    • Otáčanie okolo osi (rotácia)
    • Otáčanie okolo osi a posunutie v smere osi
    • Rovinová súmernosť
    • Posunuté rovinové zrkadlenie (rovinová súmernosť a posunutie v niektorom smere roviny)
    • Rotácia okolo osi o uhol iný ako priamy a rovinová súmernosť s rovinou kolmou na os rotácie
    • Stredová súmernosť


Poznámka: Podľa matematického slovníka sa zobrazenia nazývajú otáčanie, posúvanie a nie otočenie, posunutie.[1][2][3]

Referencie
  1. M. BILLICH - M. TRENKLER. Zbierka úloh z geometrie [online]. Ružomberok : Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2013, [cit. 2013-10-02]. ISBN 978-80-561-0058-5.
  2. J. FECENKO - Ľ. PINDA. Matematika 1 [online]. Bratislava : Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-10-02]. ISBN 80-8078-091-9.
  3. P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. Prehľad matematiky [online]. Bratislava : Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-10-02].

Externé odkazy
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.