Wishartovo rozdelenie

Wishartovo rozdelenie (iné názvy: Wishartovo pravdepodobnostné rozdelenie, Wishartovo rozdelenie pravdepodobnosti) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti. Wishartovo rozdelenie je viacrozmerný analóg $\chi ^{2}$ -rozdelenia alebo, v prípade neceločísleného počtu stupňov voľnosti, gama rozdelenia.

Wishartovo rozdelenie je jedno z rozdelení pravdepodobnosti, ktoré definujeme cez symetrické, nezáporne definitné matice, ktoré vystupujú ako náhodné premenné (tzv. „náhodné matice“). Rozdelenie je veľmi dôležité pri odhadovaní a získavaní odhadov kovariančných matíc vo viacrozmerných štatistických analýzach.

Rozdelenie je pomenované podľa matematika Johna Wisharta, ktorý prvýkrát v roku 1928 toto rozdelenie popísal.[1]

Definícia

Majme náhodný výber ${\mathbf {X} _{1}},{\mathbf {X} _{2}},\cdots ,{\mathbf {X} _{n}}$ z normálneho $p$ -rozmerného rozdelenia s parametrami ${\mathbf {O} }$ a ${\mathbf {\Sigma } }$ , teda $N_{p}({\mathbf {O} },{\mathbf {\Sigma } })$ . Ďalej nech ${\mathbf {X} }$ je matica typu n × p definovaná nasledovne: ${\mathbf {X} ^{T}}=({\mathbf {X} _{1}},{\mathbf {X} _{2}},\cdots ,{\mathbf {X} _{n}})$ . Potom matica ${\mathbf {W} }$ definovaná nasledovným vzťahom:

${\mathbf {W} }={\mathbf {X} ^{T}}{\mathbf {X} }$

má Wishartovo rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti.

Označenie:

${\mathbf {W} }\sim {\mathbf {W} _{p}}({\mathbf {\Sigma } },n)$

Vlastnosti

Pokiaľ položíme kovariančnú maticu ${\mathbf {\Sigma } }={\mathbf {I} _{p}}$ , tak hovoríme, že Wishartovo rozdelenie má štandardizovaný tvar, teda: $W\sim {\mathbf {W} _{p}}(I_{p},n)$

Pre $p=1$ , teda v prípade 1-rozmerného Wishartovho rozdelenia, sa toto rozdelenie zhoduje s $\chi ^{2}$ -rozdelením s n stupňami voľnosti vynásobeným disperziou, teda:

$\operatorname {W} \sim W_{1}(\sigma ^{2},n)\sim \sigma ^{2}\chi ^{2}(n)$

Pokiaľ máme maticu ${\mathbf {W} }$ , ktorá má p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, teda ${\mathbf {W} }\sim {\mathbf {W} _{p}}({\mathbf {\Sigma } },n)$ a maticu ${\mathbf {A} }$ , ktorá je typu p × q, tak matica ${\mathbf {B} }$ , ktorú dostaneme prenásobením matice ${\mathbf {W} }$ zľava aj sprava maticou ${\mathbf {A} }$ , má tiež Wishartovo rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, ale q-rozmerné a s inou kovariančnou maticou:

${\mathbf {B} }={\mathbf {A} ^{T}}{\mathbf {W} }{\mathbf {A} }\sim {\mathbf {W} _{q}}({{\mathbf {A} ^{T}}{\mathbf {\Sigma } }{\mathbf {A} }},n)$

Zdroje a referencie

WISHART, John. The generalised product moment distribution in samples from a normal multivariate population. Biometrika, 1928, roč. 20A, čís. 1-2, s. 32–52.

LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Viacrozmerné rozdelenie, s. 344 strán.
Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Wishart distribution na anglickej Wikipédii.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] WISHART, John. The generalised product moment distribution in samples from a normal multivariate population. Biometrika, 1928, roč. 20A, čís. 1-2, s. 32–52.