Relačná algebra

Množinové operátory fungujú v podstate rovnako ako v teórii množín. V relačnej algebre sa však na operandy niektorých množinových operácii kladú špeciálne požiadavky. Predovšetkým, operandy zjednotenia a rozdielu (primitívnych operácií relačnej algebry) množín musia byť kompatibilné, tzn. musia mať rovnakú množinu atribútov. Zjednodušene povedané, ak si reláciu predstavíme ako databázovú tabuľku, nie je možné vykonať zjednotenie dvoch tabuliek v prípade, že majú rôzne hlavičky.

Kompatibilita operandov sa požaduje aj v prípade prieniku, keďže prienik sa, ako odvodený operátor, definuje na základe zjednotenia a rozdielu:

${\displaystyle A\cap B=(A\cup B)\setminus ((A\setminus B)\cup (B\setminus A)).}$

Karteziánsky súčin v relačnej algebre síce sleduje základnú myšlienku z teórie množín, je však definovaný odlišne. Neformálne povedané, klasický karteziánsky súčin by z n-árnej a m-árnej relácie vytvoril množinu dvojíc, kde každá dvojica obsahuje jednu n-ticu a jednu m-ticu. Karteziánsky súčin v relačnej algebre ale z týchto dvoch relácii vytvorí zodpovedajúcu množinu n+m-tíc. Formálne povedané, karteziánsky súčin sa v relačnej algebre definuje nasledovne:

${\displaystyle R\times S=\{[x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}]\ |\ X=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R\ \land \ Y=(y_{1},\ldots ,y_{m})\in S\}.}$

Projekcia je relačná operácia, ktorá intuitívne zodpovedá výberu stĺpcov z tabuľky (teda sa obmedzíme iba na niektoré atribúty). Ide teda o unárnu operáciu ${\displaystyle \Pi _{\mathbf {X} }(R)}$, kde X je množina názvov atribútov. Výsledkom je tá istá relácia obmedzená na atribúty z X.

Selekcia je unárna relačná operácia ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {X} }(R)}$ zodpovedajúca výberu riadkov z tabuľky na základe nejakého kritéria. Nech ${\displaystyle R}$ je relácia typu ${\displaystyle R(\mathbf {X} )}$, nech ${\displaystyle \varphi (\mathbf {X} )}$ je predikátová formula hovoriaca o jednotlivých prvkoch a ich príslušnostiach do relácií, ktorá okrem predikátov obsahuje len logické spojky ${\displaystyle \lnot ,\lor ,\land }$. Potom:

${\displaystyle \sigma _{\varphi (\mathbf {X} )}(R)=\{\mathbf {X} \ |\ R(\mathbf {X} )\land \varphi (\mathbf {X} )\}.}$

Operácia premenovania, ktorá sa značí ${\displaystyle \rho _{a/b}(R)}$, má viac-menej len formálny význam a využíva sa najmä v súvislosti s joinom. Operácia ${\displaystyle \rho _{a/b}(R)}$ premenuje atribút a na b.

Join (značí sa ${\displaystyle R\bowtie S}$) slúži na spájanie relácií. Spojenie relácií sa dá uskutočniť aj bez nového operátoru, len pomocou karteziánskeho súčinu, ale jeho použitie môže byť v mnohých prípadoch pamäťovo neefektívne. Výsledkom je množina všetkých kombinácií prvkov relácie R a S, ktoré sa zhodujú na spoločných atribútoch. Napríklad:

Relácia 1 Atribút 1 Atribút 2 Atribút 3 1 A a 2 B b 3 C a 4 D b

Relácia 2 Atribút 3 Atribút 4 a 3 b 4 c 5

Relácia 1 ${\displaystyle \bowtie }$ Relácia 2 Atribút 1 Atribút 2 Atribút 3 Atribút 4 1 A a 3 2 B b 4 3 C a 3 4 D b 4

Takto definovaný join sa presnejšie nazýva prirodzený join. Existuje viacero viarantov operácie join, ako napr. outer-join, semijoin a pod.

Relačná algebra podporuje päť agregačných funkcií, ktoré sú implementované vo väčšine databázových systémov. Tieto sú: sum (súčet hodnôt), count (počet prvkov), average (priemer), maximum a minimum. Samotná agregácia sa v relačnej algebre zapisuje pomocou agregačného operátora ${\displaystyle \Gamma }$ nasledujúcim spôsobom:

${\displaystyle \Gamma _{\mathbf {X} }(R)}$,

kde pre všetky ${\displaystyle X\in \mathbf {X} }$ platí, že X je buď atribút (tzv. grupovací atribút) alebo je tvaru AGG(Y) (agregovaný atribút), kde AGG je niektorá z piatich uvedených agregačných funkcií a Y je atribút. Operátor ${\displaystyle \Gamma }$ najprv rozdelí reláciu R na skupiny tak, že všetky riadky v každej skupine majú rovnaké hodnoty grupovacích atribútov. Následne pre každú zo skupín vypočíta hodnoty agregovaných atribútov a výsledkom je tabuľka, ktorá pre každú takúto skupinu obsahuje práve jeden riadok obsahujúci grupovacie atribúty a hodnoty daných agregačných funkcií.