Čiastočne usporiadaná množina
Čiastočne usporiadaná množina, úspornejšie usporiadaná množina alebo poset, je množina spolu s informáciou na základe ktorej je možné navzájom porovnávať jej prvky. Napríklad zákazník, ktorý sa práve chystá kúpiť automobil, má všetky na trhu dostupné modely zoradené podľa preferencií a každú dvojicu automobilov vie porovnať. To znamená, že sa vie rozhodnúť či niektorý model z danej dvojice preferuje, a ak áno, ktorý. Presne je usporiadaná množina definovaná ako dvojica
kde je množina a je na nej definovaná binárna relácia ktorá je reflexívna, antisymetrická a tranzitívna. Relácia, ktorá súčasne spĺňa tieto tri vlastnosti sa nazýva relácia usporiadania alebo jednoducho usporiadanie. Štúdiu usporiadaných množín sa venuje teória usporiadania.
Príklady
- Slová slovenského jazyka spolu s lexikografickým usporiadaním tvoria usporiadanú množinu. Podľa tohoto usporiadania sú zoradené napríklad v slovníku slovenského pravopisu.
- Množina reálnych čísel a všetky jej podmnožiny sú usporiadané reláciou "menší alebo rovný".
- Množina prirodzených čísel je usporiadaná reláciou deliteľnosti celých čísel. Toto usporiadanie má komplikovanú štruktúru. Existujú v ňom neporovnateľné prvky, napríklad číslo 3 nie je deliteľom čísla 4 a ani naopak, číslo 4 nie je deliteľom čísla 3.
- Na množine reálnych funkcií definovaných na pevne zvolenej množine sa často definuje relácia usporiadania podmienkou, že vtedy a len vtedy ak pre každé z množiny . Aj v tomto usporiadaní existujú neporovnateľné prvky.
Pozri aj
Referencie
- B.A. Davey, H.A. Priestley, Introduction to Lattices and Order. Cambridge University Press 2002. ISBN 0521784514