Möbiov list

Möbiova páska v parametrickom grafe.

Jednou z možností, ako matematicky opísať Möbiov list ako podmnožinu ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ je použitie parametrizácie:

${\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos(u)}$

${\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin(u)}$

${\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}},}$

kde ${\displaystyle 0\leq u<2\pi }$ a ${\displaystyle -1\leq v\leq 1}$. Tento predpis vytvorí pásku šírky 1, ktorej centrálna kružnica má polomer 1 ležiaci v rovine ${\displaystyle x}$–${\displaystyle y}$ so stredom v bode (0,0,0).

Vo valcovej sústave súradníc je Möbiov list reprezentovaný nasledujúcim predpisom:

${\displaystyle \log(r)\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)=z\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$

Ak je Möbiov list v strede rozstrihnutý, potom vznikne jeden dlhý, niekoľkokrát pretočený pruh.

Ak nie je prestrihnutá v strede, ale na okraji, vzniknú tak dva do seba vpletené pruhy, jeden dvakrát dlhší než pôvodný Möbiov list a bez jej vlastností, druhý bude mať opäť jej vlastnosti. Ak sa bude v rozstrihovávaní pokračovať, vzniknuvšie pásky budú prepletené so všetkými predchádzajúcimi.

Ak necháme kráčať mravca po tejto páske, prvý okruh bude kráčať po vrchnej časti pásky a druhý po spodnej – bude sa nachádzať presne pod miestom, kde začal. Hoci pojem spodná strana a vrchná strana je relatívny, pretože vrchná plynulo prechádza do spodnej a opačne. Táto zvláštnosť sa môže využívať pri návrhoch hnacích remeňov. Hnacie remene v tvare Möbiovho listu sa opotrebúvajú na oboch stranách povrchu, čiže vydržia dvakrát tak dlho.

Ďalší problém vzniká, ak by sme chceli namaľovať každý povrch pásky inou farbou.