Lebesgueova veta

Nech funkcie ${\displaystyle \ f_{n}(x)}$ sú merateľné v${\displaystyle \ M}$ a${\displaystyle \ f_{n}(x)\rightarrow f(x)}$ pre skoro všetky ${\displaystyle x\in \mathbf {M} }$ a nech existuje funkcia

${\displaystyle \ g(x)\in L(M)}$ (tzn.:lebesueovsky integrovatľná na M) taká, že:${\displaystyle \ |f_{n}(x)|\leq g(x)}$ pre ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$ a pre skoro všetky ${\displaystyle x\in \mathbf {M} }$.

Potom ${\displaystyle \ f(x)\in L(M)}$ a platí :${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}(x)=\int _{M}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=\int _{M}f(x)}$ .

• Funkcii ${\displaystyle \ g(x)}$ sa hovorí integrovateľná majoranta a jej existencia je často pri výpočte jediný predpoklad, ktorý je tažké overiť.
• Existuje aj verzia tejto vety pre rady funkcií.

• http://mathworld.wolfram.com/LebesguesDominatedConvergenceTheorem.html