L’Hospitalovo pravidlo

Ak máme funkcie ${\displaystyle f(x),g(x)}$, pre ktoré v bode c platí ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0}$ a ${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=0}$, potom v prípade, že existuje (vlastná alebo nevlastná) limita ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}$, platí

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}$

kde ${\displaystyle {}^{\prime }}$ označuje deriváciu funkcie.

Podobne v prípade, kedy máme funkcie ${\displaystyle f(x),g(x)}$, pre ktoré v bode c platí ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=+-\infty }$ a ${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=+-\infty }$. Ak existuje (vlastná alebo nevlastná) limita ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}$, potom opäť platí vzťah

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}$

Uvedené l'Hospitalove pravidlá sú použiteľné aj v nevlastných bodoch.

Ak je ${\displaystyle {\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}$ v bode c opäť neurčitým výrazom, možno l’Hospitalove pravidlá použiť opakovane. Takto môžeme postupovať, dokiaľ nezískame nejaký výraz, ktorý nie je neurčitý.

l’Hospitalove pravidlá sú definované len pre neurčité výrazy typu ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ alebo ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$. Ostatné neurčité výrazy je nutné previesť na tento typ neurčitého výrazu.

Uvažujme ďalej funkcie ${\displaystyle f(x),g(x)}$, ktoré v bode c naberajú hodnôt 0 alebo ${\displaystyle \infty }$.

• Ak ${\displaystyle f(x)\cdot g(x)}$ predstavuje v c výraz ${\displaystyle 0\cdot \infty }$, potom ho môžeme upraviť na ${\displaystyle {\frac {f(x)}{\frac {1}{g(x)}}}}$, čo je výraz typu ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$, alebo na ${\displaystyle {\frac {g(x)}{\frac {1}{f(x)}}}}$, čo je výraz typu ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$.
• Ak ${\displaystyle f(x)-g(x)}$ predstavuje v c výraz typu ${\displaystyle \infty -\infty }$, potom ho možno upraviť na ${\displaystyle {\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{\frac {1}{f(x)\cdot g(x)}}}}$, čo je výraz typu ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$.
• Ak ${\displaystyle {f(x)}^{g(x)}}$ predstavuje v c výraz typu ${\displaystyle 0^{0}}$, potom ho upravíme na ${\displaystyle {f(x)}^{g(x)}=\mathrm {e} ^{g(x)\cdot \ln f(x)}}$, kde v exponente je výraz ${\displaystyle 0\cdot \infty }$, ktorý možno ďalej upraviť na výraz ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ alebo ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$. Pri riešení potom využijeme toho, že ${\displaystyle \lim _{x\to c}\mathrm {e} ^{g(c)\cdot \ln f(x)}=\mathrm {e} ^{\lim _{x\to c}[g(x)\cdot \ln f(c)]}}$.
• Ak ${\displaystyle {f(x)}^{g(x)}}$ predstavuje v c výraz typu ${\displaystyle \infty ^{0}}$, potom ho upravíme na ${\displaystyle {f(x)}^{g(x)}=\mathrm {e} ^{g(x)\cdot \ln f(x)}}$, kde v exponente je výraz ${\displaystyle 0\cdot \infty }$, ktorý ďalej riešime rovnako ako v predchádzajúcom bode.
• Ak ${\displaystyle {f(x)}^{g(x)}}$ predstavuje v c výraz typu ${\displaystyle 1^{\infty }}$, potom ho upravíme na ${\displaystyle {f(x)}^{g(x)}=\mathrm {e} ^{g(x)\cdot \ln f(x)}}$, kde v exponente je výraz ${\displaystyle \infty \cdot 0}$, ktorý ďalej riešime rovnaku ako v predchádzajúcom bode.

• Výraz ${\displaystyle {\frac {\ln x}{x^{3}}}}$ predstavuje pre ${\displaystyle x\to +\infty }$ neurčitý výraz typu ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$. Pomocou l’Hôpitalovho pravidla teda bude

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln x}{x^{3}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {\frac {1}{x}}{3x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{3x^{3}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{\infty }}=0}$

• Neurčitý výraz typu ${\displaystyle (0\cdot \infty )}$ prevedieme úpravou súčinu f(x)g(x) na podiel ${\displaystyle {\frac {f(x)}{\frac {1}{g(x)}}}}$ alebo ${\displaystyle {\frac {g(x)}{\frac {1}{f(x)}}}}$ získame tak neurčitý výraz typu ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ alebo ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$. Ten už určíme l’Hôspitalovým pravidlom.

${\displaystyle \lim _{x\to 0_{+}}(x\cdot \ln x)=\lim _{x\to 0_{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0_{+}}{\frac {(\ln x)^{'}}{(x^{-1})'}}=\lim _{x\to 0_{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-x^{-2}}}=-\lim _{x\to 0_{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{\frac {1}{x^{2}}}}=-\lim _{x\to 0_{+}}x=0}$

• Limita
• Derivácia
• Priebeh funkcie
• Stolzova veta

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku L'Hospitalovo pravidlo na českej Wikipédii.

• L’Hospitalovo pravidlo na www.math.sk