Absolútna hodnota (reálne a komplexné číslo)

Absolútna hodnota reálneho čísla x je hodnota x s odstráneným znamienkom. Takže napríklad 3 je absolútnou hodnotou čísla 3, ale aj -3. V matematike sa absolútna hodnota zapisuje ako $y=|x|$ .[1] V informatike a v matematike pri použití absolútnej hodnoty ako funkcie je bežnejší zápis $y={\mbox{abs}}(x)$ .

Graf funkcie absolútnej hodnoty reálnych čísel

Z geometrického pohľadu je možné definovať absolútnu hodnotu ako vzdialenosť bodu a od nuly. Pri takomto pohľade vyplynie i definícia absolútnej hodnoty komplexného čisla.

Reálne čísla

Pre každé reálne číslo a je jeho absolútna hodnota $|a|$ rovná:[1]

$|a|={\begin{cases}a,&{\mbox{ak }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{ak }}a<0\end{cases}}$

Ako je možné z uvedenej definície vidieť, absolútna hodnota bude vždy kladná alebo nulová, nikdy záporná.

Z geometrického pohľadu je možné definovať absolútnu hodnotu ako vzdialenosť bodu a na reálnej osi od nuly, alebo všeobecnejšie absolútna hodnota rozdielu dvoch reálnych čísel je vzdialenosť medzi nimi.

Absolútna hodnota má nasledujúce vlastnosti:

$|a|\geq 0$
$|a|=\max \left\{-a,a\right\}\,$
$|a|=\left|-a\right|\,$
$|a|={\sqrt {a^{2}}}$
$|ab|=|a|.|b|\,$
$\left|a^{n}\right|={|a|}^{n}\,$ (pre každé prirodzené n)
${\bigg |}{\frac {a}{b}}{\bigg |}={\frac {|a|}{|b|}}$ (ak $b\neq 0$ )
$|a+b|\leq |a|+|b|$ (trojuholníková nerovnosť)
$|a-b|\geq {\Big |}|a|-|b|{\Big |}$
$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$
$|a|\geq b\iff a\leq -b\lor b\leq a$

Komplexné čísla

Pretože komplexné čísla netvoria usporiadanie, predchádzajúca definícia nemôže byť priamo zovšeobecnená aj na ne. Avšak vďaka tomu že platí

|a|={\sqrt {a^{2}}}

je možné formulovať nasledujúcu definíciu. Pre každé komplexné číslo

z=x+iy\,

je jeho absolútna hodnota |z| rovná

|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

. [1]

Referencie

absolútna hodnota. In: Encyclopaedia Beliana. 1. vyd. Bratislava : Encyklopedický ústav SAV; Veda, 1999. 696 s. ISBN 80-224-0554-X. Zväzok 1. (A – Belk), s. 30-31.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[EB-1] solútna hodnota. In: Encyclopaedia Beliana. 1. vyd. Bratislava : Encyklopedický ústav SAV; Veda, 1999. 696 s. ISBN 80-224-0554-X. Zväzok 1. (A – Belk), s. 30-31.