Základní akustické veličiny

Zvuková vlna je rozruch v hmotném prostředí, který se projevuje zřeďováním a zhušťováním tohoto prostředí. V místech s vyšší hustotou je vyšší tlak v místech se zředěným prostředím je nižší tlak. Za akustický tlak p jsou označovány tyto změny tlaku oproti tlaku rovnovážnému (např. atmosférickému ve vzduchu). Jedná se o skalární veličinu. Velikostí akustického tlaku, pokud není uvedeno jinak, se rozumí jeho efektivní hodnota a uvádí se v jednotce Pa.

Akustická vlna je tvořena hmotnými částicemi kmitajícími v prostředí kolem rovnovážné polohy. Body se stejnou fází vytvářejí v prostoru plochu obecného tvaru nazývanou vlnoplocha. Bodový zdroj zvuku vytváří vlnění s kulovými vlnoplochami (kulová vlna), ve velké vzdálenosti od zdroje zvuku je zpravidla možné považovat vlnoplochy za rovnoběžné roviny (rovinná vlna).

Částice se pohybují v tekutinách ve směru kolmém na vlnoplochu rychlostí v. Jejich pohyb vytváří v prostoru těleso, jehož objem se za jednotku času změní o hodnotu danou součinem velikosti plochy vlnoplochy a rychlosti pohybu částic. Pro rovinnou vlnu je tímto tělesem kvádr. Tato rychlost změny objemu je nazývána akustická nebo také objemová rychlost w a její jednotkou je m³ / s.

${\displaystyle w~=~vS}$

Akustická objemová rychlost má kromě velikosti také směr, jedná se proto o vektorovou veličinu. V plynném prostředí je směr objemové rychlosti vždy kolmý na vlnoplochy vlnění a shodný se směrem šíření zvukové vlny, jedná se proto o podélné vlnění. V pevných látkách se může zvuk šířit více způsoby – zákonitosti jsou složitější. Pokud není uvedeno jinak udává se efektivní hodnota velikosti objemové rychlosti.

Intenzita zvuku v daném bodu představuje výkon vyzářený do prostoru v podobě akustické vlny vztažený na jednotku plochy vlnoplochy procházející daným bodem. Jednotkou intenzity zvuku je W / m².

${\displaystyle I~=~{\frac {P}{S}}}$

Intenzitu zvuku je možné také stanovit jako součin efektivních hodnot akustického tlaku a objemové rychlosti vztažený na jednotku plochy vlnoplochy procházející daným bodem.

${\displaystyle I~=~{\frac {pw}{S}}~=~pv}$

K výkladu významu intenzity zvuku

Rychlost šíření zvuku je rychlost, jakou se v prostoru šíří akustický vzruch v podobě akustické vlny. Pro adiabatický děj (nestačí se vyměňovat teplo) v plynném prostředí lze ze stavové rovnice ideálního plynu odvodit pro rychlost šíření vztah:

${\displaystyle c~=~{\sqrt {\frac {\kappa p_{c}}{\rho }}}}$, kde je
κ     Poissonova konstanta
pc    barometrický tlak
ρ     hustota plynu

Pojmem akustická impedance jsou často označovány tři odlišné pojmy, které je nutné rozlišovat:

• Akustická impedance je poměr akustického tlaku a objemové rychlosti. Při harmonickém kmitání může být mezi akustickým tlakem a objemovou rychlostí fázový posun, proto je akustická impedance v symbolickém vyjádření obecně komplexního charakteru:

${\displaystyle \mathbf {Z} _{a}~=~{\frac {\mathbf {p} }{\mathbf {w} }}~=~{\frac {\mathbf {p} }{\mathbf {v} S}}}$

Objemovou rychlost w pro plochu S můžeme vyjádřit jako součin rychlosti kmitání hmotných částic v a plochy S.

• Měrná akustická impedance nazývaná též vlnovou impedancí prostředí je akustická impedance vztažená k jednotkové ploše. Tato veličina je dána vlastnostmi prostředí a nezávisí na rozměrech a tvaru akustické soustavy:

${\displaystyle \mathbf {z} _{a}~=~{\frac {\mathbf {p} }{\mathbf {v} }}}$ 

Pro adiabatické děje při šíření zvuku vzduchem má měrná akustická impedance neboli vlnová impedance prostředí velikost:

${\displaystyle z_{a}~=~\rho c~=~{\sqrt {\kappa p_{c}\rho }}}$

• Mechanická impedance akustické soustavy je poměr síly působící na akustickou soustavu a rychlosti kmitání hmotných částic v:

${\displaystyle \mathbf {Z} _{m}~=~{\frac {\mathbf {F} }{\mathbf {v} }}}$

Vyjádříme-li sílu a rychlost pomocí akustických veličin – akustický tlak a objemová rychlost dostaneme vztah mezi mechanickou a akustickou impedancí:

${\displaystyle \mathbf {Z} _{m}~=~{\frac {\mathbf {F} }{\mathbf {v} }}~=~{\frac {\mathbf {p} S^{2}}{\mathbf {w} }}~=~\mathbf {Z} _{a}S^{2}}$

Akustická soustava o příčném průřezu S a akustické impedanci Z_a zatěžuje mechanickou soustavu impedancí ${\displaystyle Z_{m}~=~Z_{a}S^{2}}$.

Budeme vycházet, že zvuková vlna prochází hrdlem, které je mnohem kratší než délka vlny a má tak malý objem, aby nedocházelo ke stlačování sloupce plynu v hrdle. Zároveň se nebudeme nyní zabývat tření částic vzduchu o stěny hrdla. Za těchto předpokladů bude celý sloupec vzduchu v hrdle kmitat jako píst. Kmitající píst bude mít hmotnost m danou hustotou plynu ρ a průřezem S a délkou hrdla l:

${\displaystyle m~=~\rho Sl}$

Na tento píst bude působit akustický tlak p silou F:

${\displaystyle F~=~pS}$

Pohyb pístu bude urychlován zrychlením a, které představuje časovou změnu rychlosti pohybu pístu v. Rychlost pohybu pístu má za následek objemovou rychlost w v hrdle pístu:

${\displaystyle a~=~{\frac {\Delta v}{\Delta t}}~=~{\frac {\Delta w}{S\Delta t}}}$

Jestliže nyní vyjádříme zrychlující sílu podle 2. Newtonova zákona a dosadíme uvedené vztahu dostaneme:

${\displaystyle F~=~pS~=~ma~=~m{\frac {\Delta w}{S\Delta t}}}$

Vyjádříme nyní závislost akustického tlaku na objemové rychlosti v hrdle:

${\displaystyle p~=~{\frac {\rho l}{S}}{\frac {\Delta w}{\Delta t}}}$

Poměr akustického tlaku a časové změny objemové rychlosti se nazývá akustická hmotnost m_a a je roven:

${\displaystyle m_{a}~=~{\frac {\rho l}{S}}}$

Zvuková vlna se šíří v uzavřeném prostoru rozměrů podstatně menších než je vlnová délka zvukové vlny. Předpokládejme, že změny tlaku a objemu vlivem šíření zvukové vlny probíhají tak rychle, že nedochází k výměně tepelné energie s okolím – jedná se o adiabatický děj. Tento děj je popsán rovnicí:

${\displaystyle p_{c}V_{c}{}^{\kappa }~=~konst}$, kde je
pc     celkový tlak,
Vc     celkový objem
κ      Poissonova konstanta

Pro malé změny tlaku a objemu, které představuje akustická vlna, lze z uvedené rovnice odvodit:

${\displaystyle \Delta pV_{c}{}^{\kappa }+\kappa p_{c}V_{c}{}^{\kappa -1}\Delta V~=~0}$

Význam akustické poddajnosti

Změna tlaku představuje akustický tlak p a změna objemu představuje objemové posunutí (obdoba výchylky) Y_a. Z rovnice lze dále vyjádřit poměr změny objemu a změny tlaku:

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{\Delta p}}~=~{\frac {Y_{a}}{p}}~=~-{\frac {V_{c}}{\kappa p_{c}}}}$

Tento poměr vyjadřuje kolikrát se zmenší objem plynného prostředí při jednotkovém vzrůstu tlaku. Vyjadřuje poddajnost prostředí pro změny tlaku. Záporné znaménko reprezentující fázový posun se zanedbává a tento poměr se nazývá akustická poddajnost:

${\displaystyle c_{a}~=~{\frac {V_{c}}{\kappa p_{c}}}}$

Akustický odpor je důsledkem tření hmotných částic o povrch zvukovodu a o sebe navzájem. Tento jev je u tekutin popisován veličinou dynamická viskozita η. Představme si trubici kruhového průřezu, souřadnici podél trubice označíme x a souřadnici od osy k okraji trubice y. Trubice má poloměr R.

Akustický odpor - význam veličin

Na povrchu trubice (y = R) bude rychlost částic nulová a do středu se bude zvyšovat. V ose trubice bude rychlost největší. Vrstvy částic se budou po sobě třít (laminární proudění). Síla uvádějící tekutinu do pohybu vztažená na jednotku povrchu vrstvy v hloubce y a v místě x trubice τ_xy je dána součinem činitele dynamické viskozity η a změny rychlosti v místě x v_x podél souřadnice y:

${\displaystyle \tau _{xy}~=~\eta {\frac {\Delta v_{x}}{\Delta y}}}$

Váleček o průměru y a délce Δx klade odpor při udržování v pohybu silou rovnající součinu povrchu válečku a τ_xy:

${\displaystyle \Delta F_{R}~=~2\pi y\Delta x\tau _{xy}~=~2\pi y\Delta x\eta {\frac {\Delta v_{x}}{\Delta y}}}$ 

Tato síla je v rovnováze se silou, kterou na čelo válečku působí akustický tlak:

${\displaystyle F~=~pS_{y}~=~p\pi y^{2}}$

Z rovnosti obou těchto sil získáme hodnotu rychlosti v místě x a v hloubce y:

${\displaystyle v_{x}~=~{\frac {1}{4\eta }}(R^{2}-y^{2}){\frac {p_{x}}{l}}}$

Akustický tlak, který působí na další váleček ve směru šíření bude menší a rychlost pohybu částic dalšího válečku bude také menší – zvuková vlna je tlumena. Pokud nyní vypočteme objemovou rychlost postupným načítáním součinů rychlostí podél osy y od středu trubice až k povrchu plochami mezikruží tvořícími jednotlivé vrstvy dostaneme:

${\displaystyle w~=~{\frac {\pi R^{4}}{8\eta l}}p}$

Dostali jsme vztah mezi objemovou rychlostí a akustickým tlakem. Z tohoto vztahu určíme akustickou impedanci jako poměr akustického tlaku a objemové rychlosti. Ta představuje akustický odpor trubice kruhového průřezu o poloměru R a délky l:

${\displaystyle r_{a}~=~{\frac {p}{w}}~=~{\frac {8\eta l}{\pi R^{4}}}}$

Pro obdélníkovou štěrbinu bychom podobným postupem odvodili akustický odpor:

${\displaystyle r_{a}~=~{\frac {p}{w}}~=~{\frac {12\eta l}{bh^{3}}}}$, kde
b     je větší rozměr průřezu štěrbiny
h     je menší rozměr průřezu štěrbiny
l     je délka štěrbiny