Primitivně rekurzivní funkce

Všechny tři níže uvedené funkce jsou primitivně rekurzivní:

• nulová funkce

${\displaystyle \forall x\;o(x)\simeq 0}$

• následník

${\displaystyle \forall x\;s(x)\simeq x+1}$

• projekce (vydělení j-tého z n argumentů)

${\displaystyle \forall x\;\forall j\;\forall n\;I_{n}^{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})\simeq x_{j}}$

Označení ${\displaystyle f(x)\simeq g(x)}$ znamená, že pokud má alespoň jedna strana rovnice smysl (tzn. je definována), pak má smysl i druhá strana a hodnoty funkcí f a g v bodě x se rovnají.

• primitivní rekurze:
  • je-li f (n - 1)-ární PRF a
  • g (n + 1)-ární PRF

pak ${\displaystyle R_{n}(f,g)=h}$ je n-ární primitivně rekurzivní funkce, kde ${\displaystyle h(0,x_{2},\ldots ,x_{n})\simeq f(x_{2},\ldots ,x_{n})}$ a ${\displaystyle h(y+1,x_{2},\ldots ,x_{n})\simeq g(y,h(y,x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{2},\ldots ,x_{n})}$

• substituce
  • je-li f m-ární PRF a
  • jsou-li ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{m}}$ n-ární PRF

pak ${\displaystyle S_{n}^{m}(f,g_{1},\ldots ,g_{m})=h}$ je n-ární primitivně rekurzivní funkce, kde ${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{n})\simeq f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,g_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))}$

• minimalizace
  • je-li f (n + 1)-ární PRF

pak ${\displaystyle \mu (f)}$ je n-ární funkce, ${\displaystyle \mu (f)(x_{1},\ldots ,x_{n})=z}$, pokud ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},z)=0}$ a zároveň ${\displaystyle (\forall i<z)f(x_{1},\ldots ,x_{n},i)>0}$

Označení ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},z)\downarrow \;}$  znamená, že funkce f je pro argumenty ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},z)}$ definována (neboli konverguje). Pokud by funkce pro tyto argumenty divergovala (nebyla definována), píšeme ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},z)\uparrow \;}$.

Třída primitivně rekurzivních funkcí je nejmenší třídou funkcí ${\displaystyle f:\mathbb {N} ^{k}\rightarrow \;\mathbb {N} }$, která obsahuje axiomy a je uzavřená na operátory primitivní rekurze a substituce. Odvození funkce je pak konečná posloupnost funkcí, z nichž každá je buď axiom nebo vzniká z předchozích funkcí aplikací některého operátoru.

Zjednodušeně řečeno, primitivně rekurzivní funkce je taková, kterou lze zapsat jako počítačový program obsahující pouze konečné for cykly a žádné while cykly nebo skoky.

Primitivně rekurzivní predikát je takový, jehož charakteristická funkce je nějaká primitivně rekurzivní funkce.