Pohyblivá řádová čárka

Reprezentace čísel specifikuje způsob uložení čísla tak, aby mohlo být zakódováno jako řetězec číslic. Aritmetika je definována jako sada operací nad touto reprezentací, která simuluje klasické matematické operace.

Je několik mechanismů, kterými může řetězec číslic reprezentovat čísla. V běžné matematické notaci může být řetězec libovolně dlouhý a umístění desetinné čárky je explicitně označeno vložením čárky (resp. tečky). Je-li vynechána, předpokládá se, že leží přímo napravo od poslední (nejméně významné) číslice. V systémech s pevnou desetinnou čárkou je pozice desetinné čárky pevně dána konvencí, například říká-li konvence, že desetinná čárka leží uprostřed osmiciferného zápisu, zápis „00012345“ by vyjadřoval hodnotu 1,2345.

Ve vědecké notaci se čísla vyjadřují dvěma složkami: mantisou a exponentem. Hodnota zápisu X×10^Y je pak X krát deset na Y. Mantisa se obvykle volí tak, aby ležela mezi 1 a 10. Například perioda otáčení Io, měsíce Jupitera, je 152 853,5047 sekund. Tato doba je ve vědecké notaci vyjádřena jako 1,528535047×10⁵ sekund.

Reprezentace v plovoucí desetinné čárce je podobná konceptu vědecké notace. Číslo s plovoucí desetinnou čárkou je rozděleno na:

• Řetězec cifer o daném základu se znaménkem, označovaný jako mantisa nebo koeficient. Desetinná čárka není obsažena – předpokládá se, že leží v určité pozici, často přímo za nejvýznamnější číslicí nebo napravo od nejméně významné číslice. Tento článek bude obecně následovat první z těchto konvencí. Délka mantisy udává přesnost čísla.

• Integer se znaménkem označovaný jako exponent, charakteristika nebo škála, který určuje velikost čísla.

Mantisa je vynásobena základem soustavy umocněným na exponent, což odpovídá posunutí desetinné čárky z její původní pozice v mantise o počet míst odpovídající hodnotě exponentu: doprava, je-li exponent kladný, doleva, je-li záporný.

V soustavě o základu 10 (obvyklé desítkové soustavě) uvedeme tento příklad: Číslo 152853,5047, které má deset desítkových cifer přesnosti, je reprezentováno s mantisou 1528535047 a exponentem 5 (s předpokládanou původní polohou desetinné čárky hned za nejvýznamnější číslicí mantisy, zde 1). K získání původní hodnoty se umístí desetinná čárka za nejvýznamnější číslici mantisy a výsledek se vynásobí 10⁵, z čehož se získá 1,528535047×10⁵, neboli 152853,5047. Není potřeba ukládat základ soustavy (10), protože bude shodný pro všechna použitá čísla. Někdy se také používá zápis 1.528535047 E 5, kde E znamená „krát deset na“.

Zapsáno v symbolech je výsledná hodnota

${\displaystyle m\times z^{e}}$,

kde m je mantisa (včetně jejího předpokládaného umístění des. čárky), z je základ soustavy a e exponent.

Toto odpovídá

${\displaystyle {\frac {m}{z^{p-1}}}\times z^{e}}$,

kde m je hodnota mantisy bez předpokládané desetinné čárky a p je přesnost – množství cifer v mantise.

Historicky se používaly různé základy čísel s plovoucí desetinnou čárkou, přičemž nejčastější je 2 (dvojková soustava), dále 10 (desítková soustava) a různé další, méně časté varianty (například 16 – šestnáctková soustava). Čísla s plovoucí desetinnou čárkou jsou racionální, protože mohou být vyjádřeny jako podíl dvou celých čísel, avšak základ soustavy určuje reprezentovatelné zlomky – například 1/5 nemůže být přesně vyjádřena jako číslo s plovoucí des. čárkou se základem 2, ale může být tak vyjádřeno se základem 10.

Způsob, jakým jsou mantisa, exponent a znaménkový bit uloženy v počítači, je závislý na implementaci. Obvyklé IEEE formáty jsou detailně popsány dále a jinde, ale například binární číslo s jednoduchou přesností (32 bitů) je p rovno 24, proto je mantisa řetězec 24 bitů (jedniček nebo nul). Například prvních 33 bitů čísla pí je 11001001 00001111 11011010 10100010 0. Zaokrouhlení na 24 bitů znamená přiřazení hodnoty 25. bitu do 24. bitu, tedy 11001001 00001111 11011011. Při uložení v kódování IEEE 754 se z tohoto stane mantisa m s e = 1 (při e = 0 se předpokládá, že m má desetinnou čárku hned za první číslicí – zde 1). Protože první bit binární mantisy je vždy jedna, není nutné jej ukládat[1] a může se uvolněné místo použít pro extra bit přesnosti. K výpočtu pí z této reprezentace lze použít:

${\displaystyle \left(1+\sum _{n=1}^{p-1}{\text{bit}}_{n}\times 2^{-n}\right)\times 2^{e}}$

${\displaystyle =\left(1+1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+1\times 2^{-4}+1\times 2^{-7}+\dots +1\times 2^{-23}\right)\times 2^{1}}$

${\displaystyle =1.5707964\times 2}$

, kde n je n-tý zleva normalizovaný bit mantisy. Normalizace, která je obrácena, když se vrací zpět odebraná 1, může být brána jako forma komprese: umožňuje kompresi binární mantisy do o 1 bit menšího prostoru za cenu větší výpočetní náročnosti.

V počítačových systémech se využívá toho, že vybraná podmnožina reálných čísel může být vyjádřena jako

X_FP = (-1)^S × b^{exponent-bias} × m

V různých počítačových systémech se používají různé báze, a různé reprezentace mantisy a exponentu:[2]

V počítačích IBM 704 je číslo uloženo jako[2]

Počítače řady BM 1400 ukládají čísla v BCD kódu, kdy jsou jednotlivé číslice ukládány v bytu ve tvaru

C B A 8 4 2 1 M

kdy bity 8 - 1 nesou vlastní hodnotu číslice, bity A a B sloužící pro rozšíření množství dat jsou nulové, C je paritní bit (používá se lichá parita) a M označuje zda se jedná o poslední číslici čísla.[2] Ruský počítač Strela umožňue ukládat čísla jak v binárním formátu, tak v BCD formátu.

Při použití binárního formátu je přesnost čísla 10 - 11 desítkových číslic, BCD formátu pouze 9 desítkových číslic.[2]

V počítačích Cray-1 je číslo uloženo jako[2]

Osmibitové počítače Atari ukládají čísla do šesti bajtů:[2]

Datový typ real Turbo Pascalu pro čísla používá šest bytů:[2]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Floating point na anglické Wikipedii.