Difrakce

Budeme prvně uvažovat, že obě štěrbiny jsou úzké, potom každá z nich vydává svou kulovou vlnoplochu (v každém bodě popsanou svou komplexní amplitudou), tyto amplitudy se sečtou a my na stínítku pozorujeme velikost výsledné amplitudy.

Abychom mohli pozorovat světlé proužky, musí být rozdíl vzdáleností bodu na stínítku od jedné a druhé štěrbiny roven nějakému celočíselnému násobku vlnové délky, tomuto číslu pak říkáme řád maxima. Bude-li totiž rozdíl vzdáleností roven např. poločíselnému násobku vlnových délek, nebudeme pozorovat v tomto bodě nic. Jak jsme psali výše amplituda se mění harmonicky v prostoru a při posunu o půl periody je právě změní na opačnou, proto je celková amplituda (součet parciálních) rovna nule.

Označíme-li ${\displaystyle x}$ vzdálenost na stínítku od osy soustavy, ${\displaystyle d}$ vzdálenost stínítka a ${\displaystyle a}$ vzdálenost štěrbin tak, pro rozdíl vzdáleností platí

${\displaystyle \Delta ={\sqrt {d^{2}+\left(x+{\frac {a}{2}}\right)^{2}}}-{\sqrt {d^{2}+\left(x-{\frac {a}{2}}\right)^{2}}}\,,}$

kde můžeme použít rozvoje do Taylorova polynomu v malé proměnné ${\displaystyle (x\pm a/2)/d}$. Dostáváme

${\displaystyle \Delta =d\left({\sqrt {1+\left({\frac {x+a/2}{d}}\right)^{2}}}-{\sqrt {1+\left({\frac {x-a/2}{d}}\right)^{2}}}\right)\approx d\left(1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x+a/2}{d}}\right)^{2}-1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-a/2}{d}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{2}}\left(\left({\frac {x+a/2}{d}}\right)^{2}-\left({\frac {x-a/2}{d}}\right)^{2}\right)\,,}$

což můžeme upravit dle vzorce pro rozdíl druhých mocnin. Dosadíme-li ${\displaystyle \Delta =k\lambda }$ a ${\displaystyle \varphi =x/d}$, dostáváme

${\displaystyle \varphi _{k}^{\rm {max}}={\frac {k\lambda }{a}}\,,}$

což je úhel odpovídající ${\displaystyle k}$-tému interferenčnímu maximu (maximum, ležící na ose experimentu se nazývá nulté).

Pro minima platí obdobný vztah (zde první minimum označujeme to, které je nejblíže k ose experimentu)

${\displaystyle \varphi _{k}^{\rm {min}}={\frac {\left(k-{\frac {1}{2}}\right)\lambda }{a}}\,.}$

Díky závislosti pozorovacích úhlů difrakčních minim a maxim na vlnové délce lze dvojštěrbinu použít k rozložení bílého světla na jednotlivé složky. Tento efekt je zesílen u difrakčních mřížek, které se používají ve spektrometrech.

Difrakční mřížka je periodická série mnoha rovnoběžných štěrbin (nebo odrazných vrypů). Důvodem, proč se používá v optické spektroskopii mřížka a nikoli dvojštěrbina, je, že s rostoucím počtem štěrbin má mřížka vyšší světelnost a též ostřejší (intenzivnější a užší) maxima jednotlivých vlnových délek.

Chceme-li zjistit závislost pozorované intenzity světla po průchodu mřížkou, musíme složit větší (v ideálním případě nekonečný) počet vln jako v případě dvojštěrbiny. Nenulová vyzařovaná intenzita bude pouze v takových směrech, že dráhový rozdíl mezi paprsky vycházejícími ze sousedních štěrbin bude celočíselný násobek vlnové délky. Nebude-li dráhový rozdíl mezi sousedními štěrbinami roven násobku vlnové délky, musíme sčítat elektrické intenzity s různou fází (všechny fáze budou v daný čas zastoupeny rovnoměrně), což nám dá celkově nulu, protože střední hodnota sinu i kosinu je nulová. Pro směry difrakčních maxim tedy dostáváme stejnou podmínku jako pro dvojštěrbinu, až na to, že zde ${\displaystyle a}$ značí vzdálenost (periodu) vrypů, neboli mřížkovou konstantu mřížky.

${\displaystyle \sin \varphi _{k}={\frac {k\lambda }{a}}\,.}$

V technické praxi se pojmem mřížková konstanta mřížky častěji rozumí převrácená hodnota vzdálenosti vrypů, ${\displaystyle 1/a}$, tedy počet (hustota, prostorová frekvence) vrypů na jednotku délky. Typická hodnota pro optické mřížky je několik set vrypů na milimetr.