Narozeninový problém
V teorii pravděpodobnosti je narozeninový problém úloha vypočítat minimální početnost skupiny lidí, ve které je alespoň 50% pravděpodobnost nalezení dvojice se stejným datem narození (den a měsíc). Narozeninovým paradoxem je pak označována skutečnost, že tento počet (23) je mnohem menší než intuitivní odhad. Pro skupinu 57 a více lidí je tato pravděpodobnost už více než 99 %, postupně rostoucí až ke 100 % pro 366 lidí (za předpokladu že pracujeme s rokem o 365 dnech).[p. 1] Matematika skrytá za tímto problémem vede k známému kryptografickému útoku zvanému narozeninový útok.
Výpočet pravděpodobnosti
Pro výpočet pravděpodobnosti, že v místnosti s n lidmi alespoň dva mají narozeniny ve stejný den, budeme předpokládat rovnoměrné rozdělení narozenin během roku (tj. budeme ignorovat přestupné roky, dvojčata atd.)
Je jednodušší nejprve spočítat pravděpodobnost p(n), že všech n narozenin je rozdílných. Pro n > 365 je tato pravděpodobnost, s ohledem na Dirichletův princip, rovna nule. Pro n ≤ 365 je dána vzorcem:
Protože druhá osoba nemůže mít stejné narozeniny jako první (364/365), třetí nemůže mít stejné narozeniny jako první dvě (363/365), atd.
Skutečnost, že nejméně dva z n lidí mají stejné narozeniny je komplementární jevu, že všechna data narozenin jsou různá. Proto pravděpodobnost p(n) je
Tato pravděpodobnost překračuje 1/2 pro n = 23 (hodnota kolem 50,7 %). Následující tabulka ukazuje pravděpodobnosti pro některé další hodnoty n (Tabulka ignoruje přestupné roky, jak již bylo výše popsáno):
Tento problém může být vypočítán také jako (1 - variace(365, počet studentů) / variace s opakováním (365, počet studentů)).
n | p(n) |
---|---|
10 | 12 % |
20 | 41 % |
23 | 50,7 % |
30 | 70 % |
50 | 97 % |
100 | 99,99997 % |
200 | 99,9999999999999999999999999998 % |
300 | (100 − 6×10−80) % |
350 | (100 − 3×10−129) % |
366 | 100 % |
Odkazy
Poznámky
- Úloha předpokládá stejnou pravděpodobnost narození v každém dni roku, ve skutečnosti však nejsou data narození rozprostřena rovnoměrně v průběhu roku, a to nikoliv pouze kvůli 29. únoru, který se vyskytuje pouze jednou za čtyři roky.[1]
Reference
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu narozeninový problém na Wikimedia Commons