NURBS

Pro definici NURBS křivek používáme bázové funkce, které zančíme jako ${\displaystyle N_{i,n}(u)}$ kde ${\displaystyle i}$ označuje ${\displaystyle i}$-tý kontrolní bod a ${\displaystyle n}$ značí stupeň polynomu. Křivku potom defunujeme jako ${\displaystyle C(t)}$.

${\displaystyle C(t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}N_{i,n}(t)P_{i}}{\sum _{j=1}^{n}{w_{j}N_{j,n}(t)}}}}$

Křivka je deifnována svými kontrolními body ${\displaystyle P_{i}}$ a odpovídajícími výhami ${\displaystyle w_{i}}$. Křivku můžeme rovněž zapsat v následujícím tvaru, kde se funkce ${\displaystyle R(u)}$ nazývá racionální bázové funkce.

${\displaystyle C(t)=\sum _{i=1}^{n}{R_{i,n}(t)P_{i}}}$

${\displaystyle R_{i,n}(t)={\frac {w_{i}N_{i,n}(t)}{\sum _{j=1}^{n}{w_{j}N_{j,n}(t)}}}}$

Pro rovnici plochy potřebujeme funkci dvou proměnných. Rovnici NURBS plochy získáme tensorovým součinem. Plochu definujeme pomocí řídících bodů a vah podobně jako při definici křivky ${\displaystyle P_{i,j}}$ a ${\displaystyle w_{i,j}}$ pro ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,nj=1,2,\ldots ,m}$.

${\displaystyle S(u,v)=\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{m}{R_{i,j}(u,v)P_{i,j}}}}$

kde

${\displaystyle R_{i,j}(u,v)={\frac {w_{i,j}N_{i,n}(u)N_{j,m}(v)}{\sum _{p=1}^{n}{\sum _{q=1}^{m}{w_{p,q}N_{p,n}(u)N_{q,m}(v)}}}}}$

reprezentují racionální bázové funkce.

Jak už název napovídá, vložení uzlu vloží uzel do uzlového vektoru. Pokud je stupeň křivky n, tak n−1 kontrolních bodů je nahrazeno n novými. Tvar křivky zůstane stejný.

Uzel může být vložen vícekrát až do maximální násobnosti uzlu. To je někdy považováno za hladkost uzlu a může toho být dosaženo algoritmem který je více efektivní než opakované vkládání uzlů.

Účelem je odstranit uzel a přemístit kontrolní body tak aby tvar zůstal pokud možno stejný a bylo dosaženo kompaktnější prezentace křivky. Je zřejmé, že toto není vždy proveditelné při zachování stejného tvaru křivky. V praxi je definována míra přesnosti, která je použita pro zjištění zda může být uzel odstraněn nebo ne. Tento proces se používá k čištění po interaktivním modelování kde mohly být uzly vloženy ručně, po importování křivky z jiných souborů kde jednoduchý převod může vést k nadbytečnému počtu kontrolních bodů.

Křivka NURBS určitého stupně může být vždy vyjádřena jinou křivkou NURBS vyššího stupně. Toto je často používáno při kombinování oddělených NURBS křivek, např. při tvorbě NURBS povrchu interpolací mezi sadou NURBS křivek nebo při sjednocování sousedních křivek. Při tomto procesu by měly být křivky různých stupňů sjednoceny na stejný stupeň, obvykle na nejvyšší stupeň jedné ze sady křivek.

Nejdůležitější vlastností v diferenciální geometrii je křivost κ. To popisuje místní vlastnosti (hrany, rohy, atd.) a vztahy mezi první a druhou derivací a tím i přesný tvar křivky. Křivost lze za pomoci derivací snadno vypočítat ${\displaystyle \kappa ={\frac {\left|r'(t)\times r''(t)\right|}{\left|r'(t)\right|^{3}}}\,\!}$ nebo zaokrouhlením z druhé derivace můžeme vypočítat délku oblouku ${\displaystyle \kappa =\left|r''(s_{0})\right|\,\!}$. Přímý výpočet křivosti křivky κ za pomoci těchto rovnic je velkou výhodou parametrických křivek oproti jejich polygonálnímu vyjádření.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Non-uniform rational B-spline na anglické Wikipedii.

• http://web.cs.wpi.edu/~matt/courses/cs563/talks/nurbs.html
• http://ibiblio.org/e-notes/Splines/Intro.htm
• http://www.cs.bris.ac.uk/Teaching/Resources/COMS30115/all.pdf
• http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/AV0405/DONAVANIK/bezier.html
• http://geometrie.foretnik.net/files/NURBS-cz.swf